Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir geometri öğretmeni, tahtaya çizdiği ABCABC üçgeni için aşağıdaki bilgileri vermiştir:

* ∣AB∣=6|AB| = 6 cm
* ∣AC∣=10|AC| = 10 cm
* 60∘<m(BAC^)<120∘60^\circ < m(\widehat{BAC}) < 120^\circ

Buna göre, ∣BC∣|BC| kenar uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    4
  2. 5Answer
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    11

Answer

5 farklı tam sayı değeri vardır.
Üçgende bir açının ölçüsü ile karşısındaki kenar uzunluğu doğru orantılı değişir. Verilen açının sınır değerleri (60∘60^\circ ve 120∘120^\circ) için kenar uzunlukları hesaplanarak ∣BC∣|BC|'nin alabileceği değer aralığı bulunur. m(A^)=60∘m(\widehat{A})=60^\circ için ∣BC∣=76≈8.7|BC|=\sqrt{76} \approx 8.7, m(A^)=120∘m(\widehat{A})=120^\circ için ∣BC∣=14|BC|=14 bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10, 11, 12 ve 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
Açının sınır değerleri için ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla (m(A^)=60∘m(\widehat{A}) = 60^\circ durumu).
x2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(60∘)=36+100−60=76⇒x=76x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 100 - 60 = 76 \Rightarrow x = \sqrt{76}
Kosinüs teoremi veya özel üçgen yardımıyla alt sınır belirlenir.
2
Açının sınır değerleri için ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla (m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ durumu).
x2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(120∘)=136−120(−1/2)=196⇒x=14x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 136 - 120(-1/2) = 196 \Rightarrow x = 14
Kosinüs teoremi yardımıyla üst sınır belirlenir.
3
Elde edilen aralıktaki tam sayıları listele.
Sınırlar: 76<∣BC∣<14\sqrt{76} < |BC| < 14. 76≈8.7\sqrt{76} \approx 8.7 olduğundan, tam sayılar: 9,10,11,12,139, 10, 11, 12, 13.
Eşitsizlik aralığındaki tam sayı değerleri tespit edilir.
4
Bulunan tam sayıların adedini say.
Toplam 5 adet değer vardır.
Sonuç bulunur.

Key Concept

Üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür ilkesi ve Kosinüs Teoremi sınırları.

Hints

1
Bir üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar uzunluğu da artar. Sınır değerleri olan 60∘60^\circ ve 120∘120^\circ için ∣BC∣|BC| uzunluğunun ne olacağını düşünün.
2
Eğer açı tam 60∘60^\circ olsaydı, karşısındaki kenarı bulmak için AA köşesinden dik indirebilirdiniz veya Kosinüs Teoremini (a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A) kullanabilirdiniz.
3
60∘60^\circ için ∣BC∣2=62+102−60=76|BC|^2 = 6^2+10^2 - 60 = 76 ve 120∘120^\circ için ∣BC∣2=62+102+60=196|BC|^2 = 6^2+10^2 + 60 = 196 olur. ∣BC∣|BC| bu iki değerin karekökü arasındadır.

Practice More

Benzer mantıkla, 90∘<m(A^)<135∘90^\circ < m(\widehat{A}) < 135^\circ aralığı için soru çözülebilir.

Alternative Method

Dik üçgen oluşturma yöntemi: AA köşesinden ACAC üzerine dik inilerek (veya dışarıya uzatılarak) oluşan 30−60−9030-60-90 üçgenleri yardımıyla da kenar uzunlukları hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic