Examkin

Question

Difficulty: HardKümeler

AA, BB ve CC kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣10<x<200,x=3k,k∈Z}A = \{x \mid 10 < x < 200, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣10<x<200,x=4m,m∈Z}B = \{x \mid 10 < x < 200, x = 4m, m \in \mathbb{Z}\}
C={x∣10<x<200,x=5n,n∈Z}C = \{x \mid 10 < x < 200, x = 5n, n \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, A∩(B∪C)A \cap (B \cup C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    23
  3. 26Answer
  4. D
    29
  5. E
    32

Answer

İstenen kümenin eleman sayısı 26'dır.
Soru bizden AA kümesinin elemanlarından hem BB hem de CC kümesinin birleşiminde olanları istemektedir. Dağılma özelliği gereği A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) olur. Bu iki kümenin birleşimini bulmak için önce her birinin eleman sayısını, sonra da kesişimlerini bulup formülde yerine koyarız: s((A∩B)∪(A∩C))=s(A∩B)+s(A∩C)−s(A∩B∩C)s((A \cap B) \cup (A \cap C)) = s(A \cap B) + s(A \cap C) - s(A \cap B \cap C). Hesaplamalar sonucu 16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeyi dağılma özelliği kullanarak sadeleştir.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
Kümelerde işlem kolaylığı sağlamak için dağılma özelliği uygulanır.
2
Alt kümelerin eleman sayılarını bulmak için EKOK hesapla.
A∩BA \cap B için EKOK(3,4)=12; A∩CA \cap C için EKOK(3,5)=15; A∩B∩CA \cap B \cap C için EKOK(3,4,5)=60.
Kesişim kümeleri, ilgili sayıların ortak katlarından oluşur.
3
Belirtilen aralıktaki (10, 200) eleman sayılarını hesapla.
s(A∩B)=⌊19912⌋−⌊1012⌋=16s(A \cap B) = \lfloor \frac{199}{12} \rfloor - \lfloor \frac{10}{12} \rfloor = 16; s(A∩C)=⌊19915⌋−⌊1015⌋=13s(A \cap C) = \lfloor \frac{199}{15} \rfloor - \lfloor \frac{10}{15} \rfloor = 13; s(A∩B∩C)=⌊19960⌋−⌊1060⌋=3s(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{199}{60} \rfloor - \lfloor \frac{10}{60} \rfloor = 3.
Terim sayısı formülü veya tam sayı bölmesi ile aralıktaki katlar bulunur.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
16+13−3=2616 + 13 - 3 = 26
İki kümenin birleşiminde ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Key Concept

Kümelerde Dağılma Özelliği ve Birleşim Formülü (İçerme-Dışlama Prensibi)

Hints

1
İstenen ifadeyi (A∩B)∪(A∩C)(A \cap B) \cup (A \cap C) şeklinde düşünmek işlemi kolaylaştırır.
2
A∩BA \cap B kümesi hem 3'e hem 4'e bölünen (12'nin katı) sayılardır. Benzer şekilde A∩CA \cap C kümesi 15'in katlarıdır.
3
İki kümenin birleşimini hesaplarken s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü kullanın. Buradaki X∩YX \cap Y ifadesi, üç kümenin de kesişimi olan 60'ın katlarıdır.

Alternative Method

Venn şeması çizerek sadece (A∩B)∖C(A \cap B) \setminus C, sadece (A∩C)∖B(A \cap C) \setminus B ve (A∩B∩C)(A \cap B \cap C) bölgelerinin eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: (16−3)+(13−3)+3=13+10+3=26(16-3) + (13-3) + 3 = 13 + 10 + 3 = 26.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic