Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlar

Doğrusal bir ff fonksiyonu için,

f(1)=3f(1) = 3
(f∘f)(x)=4x+3(f \circ f)(x) = 4x + 3

eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

Verilen şartları sağlayan ff fonksiyonu f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 olup, f(3)f(3) değeri 7'dir.
Doğrusal bir fonksiyon olan f(x)=ax+bf(x) = ax + b için bileşke işlemi a2x+ab+ba^2x + ab + b sonucunu verir. Verilen 4x+34x + 3 ifadesiyle eşleştirildiğinde a=2a=2 ve b=1b=1 değerleri bulunur. Bu kural altında 3'ün görüntüsü 7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirleyin.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda fonksiyonun doğrusal olduğu belirtilmiştir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak bir denklem elde edin.
f(1)=a⋅(1)+b=3⇒a+b=3f(1) = a \cdot (1) + b = 3 \Rightarrow a + b = 3
Fonksiyonun x=1x=1 için değeri 3 olarak verilmiştir.
3
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) bileşke fonksiyonunu aa ve bb cinsinden ifade edin.
f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+bf(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b
Bileşke fonksiyon, içteki fonksiyonun sonucunun dıştaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıdır.
4
Bileşke fonksiyonu verilen eşitlikle karşılaştırarak aa ve bb değerlerini bulun.
a2x+ab+b=4x+3⇒a2=4a^2x + ab + b = 4x + 3 \Rightarrow a^2 = 4 ve ab+b=3ab + b = 3. a2=4a^2 = 4 ise a=2a = 2 veya a=−2a = -2 olabilir. Eğer a=2a = 2 ise 2+b=32 + b = 3 (Step 2'den) ⇒b=1\Rightarrow b = 1 olur. Bu durumda ab+b=2(1)+1=3ab + b = 2(1) + 1 = 3 şartı da sağlanır. (a=−2a = -2 durumu ab+b=3ab + b = 3 şartını sağlamaz.)
Polinom eşitliği kuralına göre aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
5
Fonksiyon kuralını yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ise f(3)=2(3)+1=7f(3) = 2(3) + 1 = 7
Bulunan aa ve bb değerleri fonksiyon kuralında yerine yazılır.

Key Concept

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı belirleme ve bileşke fonksiyon işlemleri.

Hints

1
Doğrusal bir fonksiyonun f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde olduğunu hatırlayın.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini elde etmek için f(x)f(x) kuralında xx gördüğünüz yere tekrar ax+bax+b yazın.
3
a2x+ab+b=4x+3a^2x + ab + b = 4x + 3 eşitliğinden a2=4a^2=4 olduğunu kullanarak aa değerine ulaşın, ardından f(1)=3f(1)=3 bilgisini kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu, f(x)f(x) fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğu durumlar için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

f(x)f(x) doğrusal olduğu için (f∘f)(x)(f \circ f)(x) de doğrusaldır ve eğimi a2a^2'dir. a2=4a^2=4 olduğundan ff fonksiyonunun eğimi 2 veya -2 olmalıdır. xx bir birim arttığında f(x)f(x) eğim kadar artar.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic