Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgensel bölgenin alanını iki eş parçaya bölen ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2x+3y=02x + 3y = 0Answer
  2. B
    3x+2y=03x + 2y = 0
  3. C
    2x−3y=02x - 3y = 0
  4. D
    3x−2y=03x - 2y = 0
  5. E
    x+y=0x + y = 0

Answer

Alanları iki eş parçaya bölen doğru denklemi 2x+3y=02x + 3y = 0 şeklindedir.
Verilen doğrunun eksenleri kestiği noktalar (−6,0)(-6, 0) ve (0,4)(0, 4)'tür. Orijin ile bu iki nokta arasında kalan dik üçgenin alanını orijinden geçerek ikiye bölen doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) orta noktası olan (−3,2)(-3, 2) noktasından geçmek zorundadır. (0,0)(0,0) ve (−3,2)(-3, 2) noktalarından geçen doğrunun eğimi −2/3-2/3 olup denklemi 2x+3y=02x + 3y = 0 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak.
x=0x = 0 için y=4y = 4 ve y=0y = 0 için x=−6x = -6.
Üçgenin köşelerini belirlemek için eksen kesim noktaları gereklidir.
2
Orijin ile oluşan üçgenin hipotenüsünün orta noktasını hesaplamak.
M=(−6+02,0+42)=(−3,2)M = (\frac{-6+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (-3, 2).
Bir üçgenin alanını bir köşesinden geçen doğru ile ikiye bölmek için doğrunun karşı kenarın orta noktasından geçmesi gerekir.
3
Orijin (0,0)(0,0) ve M(−3,2)M(-3, 2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulmak.
m=2−0−3−0=−23m = \frac{2 - 0}{-3 - 0} = -\frac{2}{3}.
Doğru denklemini yazmak için eğim gereklidir.
4
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini oluşturmak.
y=−23x⇒3y=−2x⇒2x+3y=0y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 3y = -2x \Rightarrow 2x + 3y = 0.
Bulunan eğim ve geçilen nokta kullanılarak genel denklem formuna ulaşılır.

Key Concept

Bir üçgenin bir köşesinden geçen kenarortay, üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Hints

1
Öncelikle 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusunun xx ve yy eksenlerini hangi noktalarda kestiğini bulun.
2
Orijinden çıkan ve üçgenin alanını ikiye bölen doğru, aslında üçgenin hipotenüsüne ait kenarortaydır.
3
(−6,0)(-6, 0) ve (0,4)(0, 4) noktalarının orta noktasını bularak orijin ile bu nokta arasındaki eğimi hesaplayın.

Practice More

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriğini bulma veya paralel iki doğru arasındaki uzaklık sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Üçgenin alanı 6×42=12\frac{6 \times 4}{2} = 12 birimkaredir. İstenen alan 6 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile 2x−3y+12=02x - 3y + 12 = 0 doğrusunun kesişim noktasının koordinatlarını bulup, oluşan küçük üçgenin alanını 6'ya eşitleyerek mm değerini bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic