Analitik Geometri Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Question 1Question →

Dik koordinat düzleminde bir $P(a, b)$ noktası III. bölgede yer almaktadır.

Buna göre, koordinatları $(-a, b)$ olan bir $R$ noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir?

IV. Bölge

I. Bölge

II. Bölge

III. Bölge

y-ekseni üzerinde

Show answer & explanation

Answer: IV. Bölge

Answer

IV. Bölge

Analitik düzlemde III. bölgedeki bir noktanın bileşenleri

(-, -)

şeklindedir. Dolayısıyla

a

ve

b

değerleri negatiftir.

R

noktasının x bileşeni olan

-a

ifadesi, negatif bir sayının negatifi olduğu için pozitife

(+)

dönüşür. y bileşeni olan

b

ise negatif

(-)

kalır. Koordinatları

(+, -)

olan noktalar ise IV. bölgededir.

Step-by-Step Solution

1

III. bölgenin özelliklerini belirle

a < 0

ve

b < 0

III. bölgedeki tüm noktaların hem x hem de y koordinatları negatiftir.

2

R(-a, b)

noktasının koordinat işaretlerini incele

x bileşeni:

-a > 0

, y bileşeni:

b < 0

a

negatif bir sayı olduğu için

(-a)

ifadesi pozitif olur;

b

ise negatif kalmaya devam eder.

3

İşaretlere göre bölgeyi tayin et

IV. Bölge

x bileşeni pozitif

(+)

, y bileşeni negatif

(-)

olan noktalar analitik düzlemin IV. bölgesinde yer alır.

Key Concept

Analitik düzlemde bölgeler ve koordinat işaretleri

Hints

1

Bölgelerin işaretlerini hatırlayın: I

(+,+)

, II

(-,+)

, III

(-,-)

, IV

(+,-)

.

2

a

sayısı negatifse,

-a

sayısının işaretinin ne olacağını düşünün.

3

a < 0

ve

b < 0

olduğuna göre

(-a, b)

ifadesindeki işaretlerin

(+, -)

olduğunu görebilirsiniz.

Practice More

Noktaların eksenlere olan uzaklıklarını mutlak değer kavramıyla inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 2Question →

Dik koordinat düzleminde $2x - 3y + 12 = 0$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgensel bölgenin alanını iki eş parçaya bölen ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

2x + 3y = 0

3x + 2y = 0

2x - 3y = 0

3x - 2y = 0

x + y = 0

Show answer & explanation

Answer: $2x + 3y = 0$

Answer

Alanları iki eş parçaya bölen doğru denklemi

2x + 3y = 0

şeklindedir.

Verilen doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(-6, 0)

ve

(0, 4)

'tür. Orijin ile bu iki nokta arasında kalan dik üçgenin alanını orijinden geçerek ikiye bölen doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) orta noktası olan

(-3, 2)

noktasından geçmek zorundadır.

(0,0)

ve

(-3, 2)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

-2/3

olup denklemi

2x + 3y = 0

olur.

Step-by-Step Solution

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak.

x = 0

için

y = 4

ve

y = 0

için

x = -6

.

Üçgenin köşelerini belirlemek için eksen kesim noktaları gereklidir.

2

Orijin ile oluşan üçgenin hipotenüsünün orta noktasını hesaplamak.

M = (\frac{-6+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (-3, 2)

.

Bir üçgenin alanını bir köşesinden geçen doğru ile ikiye bölmek için doğrunun karşı kenarın orta noktasından geçmesi gerekir.

3

Orijin

(0,0)

ve

M(-3, 2)

noktalarından geçen doğrunun eğimini bulmak.

m = \frac{2 - 0}{-3 - 0} = -\frac{2}{3}

.

Doğru denklemini yazmak için eğim gereklidir.

4

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini oluşturmak.

y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 3y = -2x \Rightarrow 2x + 3y = 0

.

Bulunan eğim ve geçilen nokta kullanılarak genel denklem formuna ulaşılır.

Key Concept

Bir üçgenin bir köşesinden geçen kenarortay, üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Hints

1

Öncelikle

2x - 3y + 12 = 0

doğrusunun

x

ve

y

eksenlerini hangi noktalarda kestiğini bulun.

2

Orijinden çıkan ve üçgenin alanını ikiye bölen doğru, aslında üçgenin hipotenüsüne ait kenarortaydır.

3

(-6, 0)

ve

(0, 4)

noktalarının orta noktasını bularak orijin ile bu nokta arasındaki eğimi hesaplayın.

Practice More

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriğini bulma veya paralel iki doğru arasındaki uzaklık sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Üçgenin alanı

\frac{6 \times 4}{2} = 12

birimkaredir. İstenen alan 6 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen

y = mx

doğrusu ile

2x - 3y + 12 = 0

doğrusunun kesişim noktasının koordinatlarını bulup, oluşan küçük üçgenin alanını 6'ya eşitleyerek

m

değerini bulabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Dik koordinat düzleminde, denklemi $5x + 12y + 60 = 0$ olan doğru ile eksenler arasında kalan üçgensel bölgenin iç teğet çemberinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?

-6

-4

-2

2

4

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

İç teğet çemberinin merkezi

(-2, -2)

olup koordinatları toplamı -4'tür.

Doğru, eksenleri

(-12, 0)

ve

(0, -5)

noktalarında keser. Bu, 3. bölgede dik kenarları 5 ve 12 birim olan bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs 13 birimdir. İç teğet çemberinin yarıçapı

r

,

Alan = u \cdot r

formülüyle bulunur. Alan 30, yarı çevre (

u

) 15 olduğundan

r=2

'dir. Eksenlere teğet ve 3. bölgede olan çemberin merkezi

(-2, -2)

olur. Koordinatlar toplamı -4'tür.

Step-by-Step Solution

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirle.

x=0

için

y=-5

,

y=0

için

x=-12

. Üçgenin köşeleri

O(0,0)

,

A(-12,0)

ve

B(0,-5)

olur.

Üçgensel bölgenin sınırlarını ve bulunduğu bölgeyi (3. bölge) tespit etmek için gereklidir.

2

Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını ve alanını hesapla.

Dik kenarlar

5

ve

12

birim, hipotenüs (Pisagor teoreminden)

\sqrt{5^2+12^2}=13

birimdir. Alan =

\frac{5 \cdot 12}{2} = 30

br².

İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için üçgenin alanına ve çevre uzunluğuna ihtiyaç vardır.

3

İç teğet çemberinin yarıçapını (

r

) hesapla (

Alan = u \cdot r

).

Yarı çevre

u = \frac{5+12+13}{2} = 15

.

30 = 15 \cdot r \Rightarrow r = 2

.

Merkez koordinatlarını belirlemek için yarıçap uzunluğu bulunmalıdır.

4

Merkez koordinatlarını bölgeye göre belirle ve topla.

Üçgen 3. bölgede olduğundan ve çember eksenlere teğet olduğundan merkez

M(-r, -r)

yani

M(-2, -2)

olur. Toplam:

(-2) + (-2) = -4

.

Çember eksenlere teğet olduğu için merkezin eksenlere uzaklığı

r

kadardır, ancak işaret bölgeye göre belirlenir.

Key Concept

İç teğet çemberinin yarıçapı (

r

), üçgenin alanı (

A

) ve yarı çevresi (

u

) arasındaki

A = u \cdot r

bağıntısı ile bulunur. Ayrıca eksenlere teğet çemberin merkezi, bölgeye göre

(r,r)

,

(-r,r)

,

(-r,-r)

veya

(r,-r)

biçimindedir.

Hints

1

Önce doğrunun eksenleri kestiği noktaları bularak üçgeni çizin ve hangi bölgede olduğunu belirleyin.

2

Oluşan dik üçgenin kenar uzunluklarını (5-12-13 üçgeni) kullanarak alanını ve çevresini hesaplayın.

3

İç teğet çemberinin yarıçapı

r = \frac{Alan}{Yarı Çevre}

formülüyle bulunur. Merkez koordinatları 3. bölgede

(-r, -r)

olacaktır.

Practice More

Benzer bir soruyu farklı bir bölgede (örneğin 2. bölge) veya ağırlık merkezi koordinatlarını sorarak oluşturabilirsiniz.

Alternative Method

Dik üçgenlerde iç teğet çember yarıçapı

r = \frac{a + b - c}{2}

formülüyle pratik olarak bulunabilir. Burada

a=5

,

b=12

,

c=13

için

r = \frac{5+12-13}{2} = 2

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Analitik düzlemde $A(3, -4)$ noktası verilmiştir. Buna göre, $A$ noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?

7

5

4

1

-1

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Noktanın koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı 7 birimdir.

Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere olan uzaklığı, o noktanın ilgili eksene dik izdüşümünün uzunluğudur.

A(3, -4)

noktası için x eksenine uzaklık

|-4| = 4

birim ve y eksenine uzaklık

|3| = 3

birimdir. Bu değerlerin toplamı

4 + 3 = 7

birim yapar.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın x eksenine olan uzaklığını belirle.

|-4| = 4

birim

Bir noktanın x eksenine olan uzaklığı, o noktanın y-koordinatının mutlak değerine eşittir.

2

Noktanın y eksenine olan uzaklığını belirle.

|3| = 3

birim

Bir noktanın y eksenine olan uzaklığı, o noktanın x-koordinatının mutlak değerine eşittir.

3

Bulunan uzaklıkları topla.

4 + 3 = 7

birim

Soruda her iki eksene olan uzaklıkların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Analitik düzlemde bir

P(x, y)

noktasının

x

eksenine uzaklığı

|y|

,

y

eksenine uzaklığı

|x|

birimdir.

Hints

1

Bir noktanın bir eksene olan uzaklığı, o eksene çizilen dikmenin uzunluğudur.

2

Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir, bu yüzden koordinatların mutlak değerlerini kullanmalısın.

3

A(x, y)

noktasının x eksenine uzaklığı

|y|

, y eksenine uzaklığı

|x|

birimdir. Bu iki değeri topla.

Practice More

Noktanın dördüncü bölgede olduğunu fark ettin mi? Bölge değişse bile uzaklık hesaplama mantığı aynı kalır.

Estimated Time:45s

Question 5Question →

Dik koordinat sisteminde, denklemi $2x - y - 6 = 0$ olan $d_1$ doğrusu ile bu doğrunun $y = x$ doğrusuna göre simetriği olan $d_2$ doğrusu veriliyor. Buna göre; $d_1$ doğrusu, $d_2$ doğrusu ve $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

9

18

27

36

54

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Doğruların oluşturduğu üçgenin alanı 27 birimkaredir.

İstenen alan, tabanı

x

-ekseni üzerinde olan bir üçgendir.

d_1

doğrusu

x

-eksenini

(3,0)

noktasında,

d_2

doğrusu (simetrik olan)

x

-eksenini

(-6,0)

noktasında keser. Bu iki doğrunun kesişim noktası ise

y=x

üzerindeki

(6,6)

noktasıdır. Tabanı

9

birim (

3

ile

-6

arası mesafe), yüksekliği

6

birim olan üçgenin alanı

\frac{9 \times 6}{2} = 27

birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

d_2

doğrusunun denklemini bul

x - 2y - 6 = 0

y=x

doğrusuna göre simetri alırken

x

ve

y

değişkenlerinin yerleri değiştirilir:

2(y) - (x) - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y - 6 = 0

.

2

İki doğrunun kesişim noktasını (

K

) bul

K(6, 6)

d_1: y = 2x - 6

ve

d_2: x = 2y - 6

denklemleri ortak çözülür.

x = 2(2x-6) - 6 \Rightarrow x = 4x - 12 - 6 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6

. Yerine yazılırsa

y=6

.

3

Doğruların

x

-eksenini kestiği noktaları bul

A(3, 0)

ve

B(-6, 0)

x

-ekseni için

y=0

verilir.

d_1

için:

2x - 6 = 0 \Rightarrow x=3

.

d_2

için:

x - 0 - 6 = 0 \Rightarrow x=6

(Düzeltme:

d_2

denkleminde

y=0

için

x-6=0 \Rightarrow x=6

? Hayır,

d_2: x - 2y + 6 = 0

olmalıydı. Tekrar kontrol:

2x - y - 6 = 0 \xrightarrow{x \leftrightarrow y} 2y - x - 6 = 0 \Rightarrow x - 2y + 6 = 0

. Adım 1'deki denklemde işaret hatası düzeltilmeli:

2y - x - 6 = 0 \Rightarrow -x + 2y - 6 = 0

.

x

-keseni:

y=0

için

-x - 6 = 0 \Rightarrow x = -6

. Doğru.

4

Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyerek alanı hesapla

Alan = 27 birimkare

Taban (

AB

uzunluğu):

|3 - (-6)| = 9

birim. Yükseklik (

K

noktasının ordinatı):

6

birim. Alan

= \frac{9 \times 6}{2} = 27

.

Key Concept

Bir noktanın veya doğrunun

y=x

doğrusuna göre simetriği alındığında apsis ve ordinat yer değiştirir

(x, y) \rightarrow (y, x)

.

Question 6Question →

Dik koordinat düzleminde $2x - y + 4 = 0$ doğrusu üzerinde bulunan bir $P$ noktası, koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır.

$P$ noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğuna göre, bu noktanın orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

\frac{2\sqrt{2}}{3}

\frac{4\sqrt{2}}{3}

2\sqrt{2}

\frac{3\sqrt{2}}{4}

4\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer

İkinci bölgedeki ve eksenlere eşit uzaklıktaki noktanın orijine uzaklığı

\frac{4\sqrt{2}}{3}

birimdir.

İkinci bölgede bulunan ve eksenlere eşit uzaklıkta olan her nokta

y = -x

doğrusu üzerindedir. Bu ilişkiyi verilen

2x - y + 4 = 0

denkleminde yerine yazdığımızda

2x - (-x) + 4 = 0

denklemi elde edilir. Buradan

3x = -4

ve

x = -4/3

bulunur. Noktanın koordinatları

P(-4/3, 4/3)

olur. Orijine uzaklık hesaplandığında

\sqrt{16/9 + 16/9} = 4\sqrt{2}/3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın genel formunu belirle.

P(x, y)

noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta ise

|x| = |y|

olur.

Bir noktanın eksenlere uzaklığı, koordinatlarının mutlak değerine eşittir.

2

Bölge şartını uygula.

İkinci bölgede

x < 0

ve

y > 0

olduğu için

y = -x

ilişkisi vardır.

İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir; mutlak değerce eşitlik için

y = -x

olmalıdır.

3

Noktayı doğru denkleminde yerine yaz.

2x - (-x) + 4 = 0 \Rightarrow 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}

Nokta doğrunun üzerinde olduğu için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.

4

Ordinatı ve orijine uzaklığı hesapla.

y = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}

ve uzaklık

d = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}

Orijine olan uzaklık, koordinatların kareleri toplamının kareköküdür.

Key Concept

Analitik düzlemde eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar

y = x

veya

y = -x

doğruları üzerindedir.

Hints

1

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların koordinatlarının mutlak değerleri birbirine eşittir.

2

İkinci bölgede

x

negatif,

y

pozitif olduğundan

y = -x

denklemini kullanmalısın.

3

Bulduğun

x

ve

y

değerlerini orijine uzaklık formülünde (karekök içinde kareler toplamı) yerine koy.

Practice More

Aynı doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Analitik düzlemde $4x - 2y + 6 = 0$ denklemi ile verilen doğrunun eğimi kaçtır?

-2

-\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

2

4

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Doğrunun eğimi 2'dir.

Verilen doğru denklemi kapalı formda (

Ax + By + C = 0

) olduğunda eğim

m = -\frac{A}{B}

formülüyle bulunur. Burada

x

'in katsayısı

A=4

ve

y

'nin katsayısı

B=-2

'dir. Formülde yerine koyduğumuzda

m = -\frac{4}{-2} = 2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Doğru denklemini

y

yalnız kalacak şekilde düzenle veya eğim formülünü kullan.

Ax + By + C = 0

şeklindeki bir doğruda eğim

m = -\frac{A}{B}

formülü ile bulunur.

Doğrunun eğimini bulmak için standart yöntem budur.

2

Verilen denklemdeki

A

ve

B

değerlerini belirle.

Denklem

4x - 2y + 6 = 0

olduğu için

A = 4

ve

B = -2

'dir.

x

'in katsayısı

A

,

y

'nin katsayısı

B

'dir.

3

Değerleri formülde yerine koy.

m = -\frac{4}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2

İşaretlere dikkat edilerek bölme işlemi yapılır.

Key Concept

Doğrunun Eğimi

Hints

1

Bir doğrunun eğimini bulmak için denklemi

y = mx + n

haline getirebilirsin. Burada

x

'in katsayısı eğimi verir.

2

Ax + By + C = 0

şeklindeki genel denklemde eğim formülü

m = -\frac{A}{B}

şeklindedir.

3

Verilen denklemde

A=4

ve

B=-2

'dir. Bu değerleri

m = -\frac{A}{B}

formülünde yerine koy.

Practice More

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemini yazma sorularına çalışabilirsin.

Alternative Method

Denklemi

y

'ye göre düzenleyerek çözmek:

4x + 6 = 2y

eşitliğinden her iki tarafı 2'ye bölersek

y = 2x + 3

olur.

x

'in katsayısı olan 2 eğimdir.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

Dik koordinat düzleminde $x - y + 4 = 0$ ve $2x + y - 10 = 0$ doğruları ile $x$ ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

27

18

6

3

54

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Doğruların kesim noktasının

y

koordinatı yükseklik,

x

eksenini kestikleri noktalar arasındaki mesafe ise taban kabul edilerek hesaplanan alan 27 birimkaredir.

Kesim noktası olan

(2, 6)

üçgenin tepe noktasıdır ve yüksekliği 6 birimdir.

x

eksenini kesen

(-4, 0)

ve

(5, 0)

noktaları arasındaki 9 birimlik mesafe ise tabanı oluşturur. Bu değerlerin çarpımının yarısı olan 27 birimkare doğru alandır.

Step-by-Step Solution

1

Doğruların kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözelim.

x - y + 4 = 0

ve

2x + y - 10 = 0

denklemlerini taraf tarafa toplarsak:

3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2

.

x

değerini ilk denklemde yerine yazarsak

2 - y + 4 = 0 \Rightarrow y = 6

. Kesim noktası

P(2, 6)

olur.

İki doğrunun kesiştiği nokta, oluşacak üçgenin tepe noktasıdır ve

y

koordinatı üçgenin yüksekliğini verir.

2

Doğruların

x

eksenini kestiği noktaları bulalım (

y = 0

).

x - 0 + 4 = 0 \Rightarrow x = -4

ve

2x + 0 - 10 = 0 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5

. Noktalar

A(-4, 0)

ve

B(5, 0)

olur.

Üçgenin tabanı

x

ekseni üzerinde olduğu için ekseni kesen bu noktalar taban uzunluğunu belirler.

3

Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyelim.

Taban (AB)

= |5 - (-4)| = 9

birim. Yükseklik (

h

)

= P

noktasının

y

koordinatı

= 6

birim.

x

ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe mutlak değer farkı ile, yükseklik ise tepe noktasının eksene uzaklığı ile bulunur.

4

Üçgenin alanını hesaplayalım.

Alan

= \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27

birimkare.

Geometride üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Key Concept

İki doğrunun kesim noktası ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla analitik düzlemde alan hesabı.

Hints

1

Üçgenin köşelerini bulmak için önce doğruları birbirine eşitleyerek kesim noktasını, sonra her doğruda

y=0

yazarak

x

eksenini kestikleri noktaları bulmalısın.

2

İki doğruyu topladığında

3x = 6

elde edersin. Bu sana tepe noktasının apsisini verir. Buradan yüksekliği bulabilirsin.

3

Tepe noktası

(2, 6)

, taban noktaları ise

(-4, 0)

ve

(5, 0)

'dır. Taban uzunluğu bu iki nokta arasındaki 9 birimlik mesafedir.

Practice More

Benzer bir soruyu doğruların

y

ekseniyle oluşturduğu bölge için çözerek eksen farkının alanı nasıl etkilediğini görebilirsin.

Estimated Time:1m 30s

Question 9Question →

Dik koordinat düzleminde,

m

bir gerçel sayı olmak üzere,

(m+1)x + (m-1)y - m - 3 = 0

denklemiyle verilen doğruların geçtiği sabit nokta

K

olarak işaretleniyor.

Buna göre $K$ noktasının, $3x + 4y - 12 = 0$ doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

1

2

2,5

3

4

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Doğru cevap 2 birimdir.

Verilen denklem

m

parametresine bağlı bir doğru demetidir. Bu doğruların hepsi sabit bir

K

noktasından geçer. Denklemi

m(x+y-1) + (x-y-3)=0

şeklinde düzenlediğimizde, her

m

için sağlanması adına

x+y-1=0

ve

x-y-3=0

olmalıdır. Bu sistem çözüldüğünde

K(2, -1)

noktası bulunur. Bu noktanın

3x+4y-12=0

doğrusuna uzaklığı formülle hesaplandığında sonuç 2 birim bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen doğru demeti denklemini

m

parametresine göre düzenle.

m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0

Her

m

değeri için sağlanması gereken koşulu bulmak için denklem

m

parantezine alınır.

2

Elde edilen ifadede

m

'nin katsayısını ve sabit terimi sıfıra eşitleyerek denklem sistemini çöz.

x + y - 1 = 0

ve

x - y - 3 = 0

denklemlerinden

x = 2

ve

y = -1

bulunur. Böylece

K(2, -1)

noktası elde edilir.

Eşitliğin her

m

için sağlanması, parantez içlerinin sıfır olmasıyla mümkündür.

3

K(2, -1)

noktasının

3x + 4y - 12 = 0

doğrusuna olan uzaklığını hesapla.

d = \frac{|3(2) + 4(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 12|}{5} = \frac{|-10|}{5} = 2

birim.

Noktanın doğruya uzaklığı formülü:

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Key Concept

Doğru Demeti ve Noktanın Doğruya Uzaklığı

Hints

1

Denklemi

m

parantezine alarak düzenlemeyi deneyin; bu sayede

m

'den bağımsız olan ortak çözüm kümesini görebilirsiniz.

2

m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0

eşitliğinin her

m

sayısı için sağlanması, ancak

m

'nin katsayısının ve sabit terimin aynı anda sıfır olmasıyla mümkündür.

3

Sabit nokta

K

'yi bulmak için

x + y - 1 = 0

ve

x - y - 3 = 0

denklem sistemini çözün. Bulduğunuz

(x, y)

değerlerini uzaklık formülünde yerine yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, sabit bir noktadan geçen doğrular yerine, paralel doğrular arasındaki uzaklığı soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

m değerine keyfi iki farklı sayı (örneğin m=1 ve m=-1) vererek iki farklı doğru denklemi elde edip, bu iki doğrunun kesişim noktasını bularak da K noktasına ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 10Question →

Dik koordinat düzleminde $A(-2, 1)$ ve $B(4, 5)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasının orta dikme doğrusunun eksenlerle sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{3}{4}

\frac{15}{4}

\frac{27}{4}

\frac{49}{4}

\frac{27}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{27}{4}$

Answer

Doğru cevap

\frac{27}{4}

birimkaredir.

Soruda istenen orta dikme doğrusunu bulmak için önce

[AB]

'nin orta noktası

M(1,3)

ve eğimi

m=2/3

bulunur. Dikme doğrusunun eğimi

-3/2

olur.

M

noktasından geçen ve eğimi

-3/2

olan doğru denklemi

3x+2y-9=0

'dır. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(3,0)

ve

(0, 9/2)

olduğundan, eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı

\frac{3 \cdot 9/2}{2} = \frac{27}{4}

birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

[AB]

doğru parçasının orta noktası (

M

) bulunur.

M(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}) = M(1, 3)

Orta dikme doğrusu, doğru parçasının tam ortasından geçer.

2

AB

doğrusunun eğimi (

m_{AB}

) ve orta dikme doğrusunun eğimi (

m_d

) hesaplanır.

m_{AB} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

. Diklik şartından

m_{AB} \cdot m_d = -1 \Rightarrow m_d = -\frac{3}{2}

Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

3

Orta dikme doğrusunun denklemi yazılır.

y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow 2(y-3) = -3(x-1) \Rightarrow 2y - 6 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + 2y - 9 = 0

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi

y-y_1 = m(x-x_1)

formülüyle bulunur.

4

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

x=0

için

2y=9 \Rightarrow y=\frac{9}{2}

.

y=0

için

3x=9 \Rightarrow x=3

.

Eksenlerle oluşan üçgenin dik kenar uzunluklarını bulmak için eksen kesim noktaları gerekir.

5

Oluşan dik üçgenin alanı hesaplanır.

Alan =

\frac{1}{2} \cdot |x_{kesim}| \cdot |y_{kesim}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{4}

birimkare.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Bir doğru parçasının orta dikme doğrusu, parçanın orta noktasından geçen ve parçaya dik olan doğrudur. Analitik geometride alan soruları genellikle eksen kesim noktaları üzerinden çözülür.

Hints

1

Önce

[AB]

doğru parçasının orta noktasını ve eğimini bulunuz.

2

Orta dikme doğrusu, orta noktadan geçer ve eğimi

AB

doğrusunun eğimiyle çarpıldığında

-1

sonucunu verir (

m_1 \cdot m_2 = -1

).

3

Bulduğunuz doğru denkleminde

x=0

ve

y=0

vererek eksenleri kestiği noktaları bulun, ardından dik üçgen alan formülünü uygulayın.

Alternative Method

Geometrik çizim yaparak benzerlik kullanmak mümkündür ancak analitik yöntem (doğru denklemi kurmak) bu soruda daha hızlı sonuç verir.

Estimated Time:2m 30s

Question 11Question →

Analitik düzlemde $A(2, 3)$ ve $B(5, 7)$ noktaları verilmiştir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

5

7

1

25

12

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü olan

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

ifadesinde değerler yerine yazıldığında

d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

sonucu elde edilir. Bu, analitik düzlemde 3-4-5 özel dik üçgeninin hipotenüs uzunluğuna karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Noktaların koordinatlarını belirleyin.

x_1 = 2, y_1 = 3

ve

x_2 = 5, y_2 = 7

Uzaklık formülünde yerine koymak için her iki noktanın apsis ve ordinat değerleri gereklidir.

2

Apsisler farkını ve ordinatlar farkını bulun.

x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3

ve

y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4

Uzaklık, koordinat düzleminde oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarına karşılık gelir.

3

Uzaklık formülünü uygulayın.

d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}

Pisagor bağıntısı gereği iki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür.

4

Karekök işlemini tamamlayın.

d = 5

25 sayısının karekökü 5'tir.

Key Concept

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Hints

1

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü düşünün:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

.

2

Apsislerin farkı 3, ordinatların farkı 4'tür. Bu farklar bir dik üçgenin kenarları gibidir.

3

Kenarları 3 birim ve 4 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu (3-4-5 üçgeni) hesaplayın.

Practice More

Noktalardan biri orijin

(0,0)

olsaydı uzaklık nasıl hesaplanırdı? Bunu deneyerek pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 12Question →

Analitik düzlemde $A(k, 4)$ noktası $2x - 3y + 6 = 0$ doğrusu üzerinde bulunmaktadır. Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

-9

-3

3

6

9

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazıldığında

k

değeri 3 olarak bulunur.

Analitik geometride temel bir kural olarak, eğer bir nokta bir doğrunun üzerindeyse, o noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.

A(k, 4)

noktasında

x = k

ve

y = 4

değerlerini

2x - 3y + 6 = 0

denkleminde yerine yazdığımızda

2k - 12 + 6 = 0

eşitliğini elde ederiz. Buradan

2k = 6

ve dolayısıyla

k = 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerlerine yazın.

2(k) - 3(4) + 6 = 0

Bir noktanın bir doğru üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğrunun denklemini sağlaması gerektiği anlamına gelir.

2

Elde edilen denklemi sadeleştirin.

2k - 12 + 6 = 0 \Rightarrow 2k - 6 = 0

Çarpma işlemlerini yaparak ve sabit sayıları toplayarak denklemi çözülebilir hale getiriyoruz.

3

k

değerini yalnız bırakarak denklemi çözün.

2k = 6 \Rightarrow k = 3

Bilinmeyeni bulmak için sabit terimi karşıya atıp katsayıya bölüyoruz.

Key Concept

Bir noktanın bir doğru denklemini sağlaması kuralı

Hints

1

Bir noktanın doğru üzerinde olması, koordinatlarının (x ve y değerlerinin) denklemi doğru kılması demektir.

2

Nokta

A(k, 4)

olduğuna göre denklemde

x

gördüğünüz yere

k

,

y

gördüğünüz yere

4

yazarak yeni bir denklem oluşturun.

3

2k - 12 + 6 = 0

denklemini elde ettikten sonra

k

değerini bulmak için dört işlem kurallarını uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için

x=0

ve

y=0

değerlerini vererek pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 13Question →

Analitik düzlemde, $x - 2y + 4 = 0$ doğrusunun $A(1, -2)$ noktasına göre simetriği olan doğrunun $x$ eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

-14

-4

5

10

14

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Aranan apsis değeri 14'tür.

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği kendisine paraleldir.

A(1, -2)

noktası, orijinal doğru ile simetrik doğrunun tam ortasında yer alır. Orijinal doğrunun denklem değeri

A

noktasında

9

ise, simetrik doğrunun değeri

-9

olmalıdır. Buradan simetrik doğru

x - 2y - 14 = 0

bulunur.

y=0

için

x=14

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen doğrunun ve simetri merkezinin özelliklerini belirle.

Doğru:

d_1: x - 2y + 4 = 0

, Simetri Merkezi:

A(1, -2)

.

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paralel olan başka bir doğrudur.

2

Simetrik doğru (

d_2

) denkleminin genel formunu yaz.

d_2: x - 2y + k = 0

Paralel doğruların

x

ve

y

katsayıları aynıdır (veya orantılıdır), sadece sabit terim (

k

) değişir.

3

Simetri merkezi

A(1, -2)

noktasının

d_1

ve

d_2

doğrularına eşit uzaklıkta (orta nokta) olması kuralını kullan.

d_1(A) + d_2(A) = 0

veya pratik yol ile sabit terim geçişi hesapla.

Nokta değerini

d_1

'de yerine koy:

1 - 2(-2) + 4 = 9

.

A

noktası orta nokta olduğundan,

d_2

'de yerine koyduğumuzda

-9

sonucunu vermelidir (zıt işaretli).

4

k

sabitini hesapla.

1 - 2(-2) + k = -9 \Rightarrow 1 + 4 + k = -9 \Rightarrow 5 + k = -9 \Rightarrow k = -14

.

Denklemi sağlayacak sabiti bulmak için.

5

Elde edilen

d_2

doğrusunun

x

eksenini kestiği noktayı (

y=0

) bul.

x - 2(0) - 14 = 0 \Rightarrow x = 14

.

Soruda apsis (x değeri) istenmektedir.

Key Concept

Noktaya Göre Simetri ve Doğru Demeti

Hints

1

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paraleldir. Yani eğimleri eşittir.

2

Simetri merkezi olan

A

noktası, orijinal doğru üzerindeki herhangi bir nokta ile simetrik doğru üzerindeki karşılığının orta noktasıdır.

3

Orijinal denklemde

A(1, -2)

koordinatlarını yerine koyduğunuzda çıkan sonucun ters işaretlisi, simetrik denklemde

A

noktasının vereceği sonuç olmalıdır.

Alternative Method

Orijinal doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilir (örneğin

y=0

için

x=-4

,

P(-4,0)

). Bu noktanın

A(1,-2)

noktasına göre simetriği alınır (

P'

).

P'

noktasından geçen ve eğimi orijinal doğruyla aynı (

m=1/2

) olan doğru denklemi yazılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 14Question →

Dik koordinat düzleminde $A(2, 1)$ noktasının $3x + 4y + k = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $4$ birimdir. Buna göre, $k$ sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

-30

-20

-10

10

20

Show answer & explanation

Answer: -20

Answer

k sayısının alabileceği değerlerin toplamı -20'dir.

Noktanın doğruya uzaklık formülü

|3(2) + 4(1) + k| / \sqrt{3^2 + 4^2} = 4

şeklinde kurulur. Buradan

|10 + k| = 20

elde edilir. Bu eşitliği sağlayan

k

değerleri

10

ve

-30

olduğu için toplamları

-20

olur.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü belirle.

d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için standart analitik geometri formülü kullanılır.

2

A(2, 1)

noktasını ve

3x + 4y + k = 0

doğrusunu formülde yerine koy.

4 = \frac{|3(2) + 4(1) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}

Verilen koordinatları (

x_1=2, y_1=1

) ve katsayıları (

a=3, b=4

) kullanarak denklem kurulur.

3

Denklemi sadeleştirerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırak.

4 = \frac{|10 + k|}{5} \Rightarrow |10 + k| = 20

Paydadaki

\sqrt{25}=5

değeri ile karşıdaki uzaklık değeri (4) çarpılarak denklem basitleştirilir.

4

Mutlak değerli denklemi iki durum için çöz.

10 + k = 20 \Rightarrow k_1 = 10

ve

10 + k = -20 \Rightarrow k_2 = -30

Mutlak değer içerisindeki bir ifade, dışarıdaki pozitif sayıya veya onun negatifine eşit olabilir.

5

Bulunan

k

değerlerini topla.

10 + (-30) = -20

Soruda istenen değerlerin toplamı işlemidir.

Key Concept

Noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ve mutlak değerli denklemler.

Hints

1

Noktanın doğruya uzaklığı formülünde paydada katsayıların kareleri toplamının karekökü bulunur.

2

Elde edeceğiniz denklem

|10+k|=20

şeklindedir. Mutlak değerden dolayı iki farklı sonuç çıkacağını unutmayın.

3

Mutlak değerli bir denklemde

|X|=a

ise

X=a

veya

X=-a

olur. Her iki durumu da çözüp k değerlerini bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü çalışabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 15Question →

Dik koordinat sisteminde, denklemleri

ax + 2y - 1 = 0

ve

3x - 6y + 5 = 0

olan doğrular birbirine diktir. Buna göre

a

gerçek sayısı kaçtır?

4

-4

-1

1

2

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

a

değeri 4'tür.

Verilen doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı -1 olmalıdır. Birinci doğrunun eğimi

m_1 = -a/2

, ikinci doğrunun eğimi

m_2 = 1/2

'dir. Bu iki değerin çarpımı -1'e eşitlendiğinde

a=4

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci doğrunun eğimini (

m_1

) bulmak için denklemi

y

yalnız kalacak şekilde düzenle veya

m = -A/B

formülünü kullan.

ax + 2y - 1 = 0 \implies m_1 = -\frac{a}{2}

Ax + By + C = 0

şeklindeki bir doğrunun eğimi

-\frac{A}{B}

'dir.

2

İkinci doğrunun eğimini (

m_2

) aynı yöntemle hesapla.

3x - 6y + 5 = 0 \implies m_2 = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2}

Eğim formülünde işaretlere dikkat edilmelidir.

3

Doğrular birbirine dik olduğu için eğimler çarpımını -1'e eşitle ve

a

değerini bul.

m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (-\frac{a}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = -1 \implies -\frac{a}{4} = -1 \implies a = 4

Analitik geometride birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir (

m_1 \cdot m_2 = -1

).

Key Concept

İki doğrunun birbirine dik olması için eğimleri çarpımının -1 olması gerekir.

Question 16Question →

Dik koordinat düzleminde $x^2 + y^2 = 36$ denklemiyle verilen çemberin, iç bölgesindeki $K(4, 2)$ noktasından geçen tüm kirişlerinin orta noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

x^2 + y^2 - 8x - 4y = 0

x^2 + y^2 = 20

2x + y - 10 = 0

x^2 + y^2 - 2x - 4y + 16 = 0

Show answer & explanation

Answer: x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

Answer

x² + y² - 4x - 2y = 0 denklemi

Çemberde bir kirişin orta noktası ile merkezi birleştiren doğru, o kirişe diktir. Kirişler sabit bir K noktasından geçtiği için, kirişlerin orta noktaları (M), orijin (O) ve K noktası ile oluşturdukları OMK üçgeninde daima 90 derecelik bir açıya (m(OMK) = 90°) sahip olur. [OK] doğru parçasını dik açı ile gören noktaların geometrik yeri, [OK]'yı çap kabul eden çemberdir. O(0,0) ve K(4,2) olduğundan, bu yeni çemberin merkezi (2,1) ve yarıçap karesi 5 olur. Denklemi düzenlediğimizde x² + y² - 4x - 2y = 0 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kirişin orta noktası özelliği ile dikliği belirle.

Çemberin merkezi O(0,0) ile kirişin orta noktası M birleştirildiğinde, [OM] doğru parçası kirişe diktir ([OM] ⊥ [MK]).

Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar (veya tersi).

2

Geometrik yerin tanımını yap.

M noktası değişkendir ancak her zaman OMK açısı 90° olur. [OK] doğru parçasını 90° ile gören noktaların geometrik yeri, çapı [OK] olan çemberdir.

Çapı gören çevre açı 90 derecedir kuralının tersi.

3

Yeni çemberin merkezini ve yarıçapını bul.

O(0,0) ve K(4,2) noktalarının orta noktası (yeni merkez) C(2,1)'dir. Yarıçap r = |OK|/2 = √(4²+2²)/2 = √20/2 = √5 birimdir.

Çapın orta noktası merkezdir, çap uzunluğunun yarısı yarıçaptır.

4

Çember denklemini yaz ve düzenle.

(x - 2)² + (y - 1)² = (√5)² ⇒ x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 5 ⇒ x² + y² - 4x - 2y = 0.

Merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemi: (x-a)² + (y-b)² = r².

Key Concept

Bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri, o doğru parçasını çap kabul eden çemberdir.

Hints

1

Çemberin merkezi O(0,0) ile herhangi bir kirişin orta noktası M'yi birleştiren doğrunun kirişe göre açısını düşünün.

2

Kiriş K noktasından geçtiğine göre, M noktası [OK] doğru parçasını nasıl bir açıyla görür?

3

[OK] doğru parçasını 90 derece ile gören noktaların kümesi, çapı [OK] olan bir çemberdir. Bu çemberin denklemini yazın.

Practice More

Bir parabolün tepe noktalarının geometrik yeri ile ilgili benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Analitik olarak, M(x,y) noktası olsun. K(4,2) ve O(0,0) olmak üzere, OM doğrusu ile MK doğrusu birbirine diktir (eğimler çarpımı -1). m_OM = y/x ve m_MK = (y-2)/(x-4). Çarpımları -1'e eşitlenerek doğrudan denklem bulunabilir.

Estimated Time:4m 0s

Question 17Question →

Dik koordinat düzleminde $A(2, 6)$ ve $B(-2, 4)$ noktalarının orta noktasından geçen ve $x - 2y + 4 = 0$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

2x + y - 5 = 0

2x + y + 5 = 0

x - 2y + 10 = 0

2x - y + 5 = 0

x + 2y - 10 = 0

Show answer & explanation

Answer: $2x + y - 5 = 0$

Answer

Doğrunun denklemi

2x + y - 5 = 0

olarak bulunur.

Verilen

A(2, 6)

ve

B(-2, 4)

noktalarının orta noktası

M(0, 5)

olarak bulunur.

x - 2y + 4 = 0

doğrusunun eğimi

1/2

olduğundan, bu doğruya dik olan doğrunun eğimi

-2

olmalıdır.

M(0, 5)

noktasından geçen ve eğimi

-2

olan doğru denklemi düzenlendiğinde

2x + y - 5 = 0

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B noktalarının orta noktasını hesapla.

M = (\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{6 + 4}{2}) = (0, 5)

İstenen doğru bu iki noktanın tam ortasından geçmektedir.

2

Verilen

x - 2y + 4 = 0

doğrusunun eğimini bul.

2y = x + 4 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2

olduğundan

m_1 = \frac{1}{2}

Dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

olduğundan, önce referans doğrunun eğimi belirlenmelidir.

3

İstenen doğrunun eğimini (

m_2

) diklik şartına göre hesapla.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -2

Dik kesişen doğruların eğimleri birbirinin ters işaretlisi ve çarpmaya göre tersidir.

4

Eğimi

-2

olan ve

M(0, 5)

noktasından geçen doğrunun denklemini yaz.

y - 5 = -2(x - 0) \Rightarrow y - 5 = -2x \Rightarrow 2x + y - 5 = 0

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanmıştır.

Key Concept

İki doğrunun diklik şartı (

m_1 \cdot m_2 = -1

) ve orta nokta koordinatları.

Hints

1

Öncelikle

A

ve

B

noktalarının aritmetik ortalamasını alarak orta noktayı bulun.

2

Doğru denkleminde

y

'yi yalnız bırakarak eğimi bulun ve dik olan doğrunun eğimiyle çarpımının

-1

olması gerektiğini hatırlayın.

3

Eğimi

m

ve bir noktası

(x_1, y_1)

olan doğru denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülü ile bulunur.

Practice More

Noktanın doğruya uzaklığı formülünü içeren soruları çözerek analitik geometri pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 18Question →

Analitik düzlemde $A(2, 6)$ ve $B(8, -2)$ noktaları veriliyor. Buna göre, $[AB]$ doğru parçasının orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(5, 4)

(5, 2)

(10, 4)

(3, 2)

(2, 5)

Show answer & explanation

Answer: $(5, 2)$

Answer

Verilen noktaların orta noktası

(5, 2)

koordinatlarına sahiptir.

Analitik düzlemde iki noktanın orta noktası, bu noktaların

x

ve

y

koordinatlarının ayrı ayrı ortalaması alınarak bulunur.

A(2, 6)

ve

B(8, -2)

noktaları için apsis

(2+8)/2=5

ve ordinat

(6-2)/2=2

olarak hesaplanır. Bu da bizi

(5, 2)

noktasına ulaştırır.

Step-by-Step Solution

1

Noktaların koordinatlarını tespit edin.

x_1=2, y_1=6

ve

x_2=8, y_2=-2

Formülde kullanılacak değerlerin doğru belirlenmesi gerekir.

2

Orta nokta formülünü uygulayın.

M = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})

Bir doğru parçasının orta noktası, uç noktalarının aritmetik ortalamasıdır.

3

x

koordinatını hesaplayın.

\frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5

Orta noktanın apsisini bulmak için apsisler toplamının yarısı alınır.

4

y

koordinatını hesaplayın.

\frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2

Orta noktanın ordinatını bulmak için ordinatlar toplamının yarısı alınır.

Key Concept

Orta Nokta Koordinatları

Hints

1

Orta noktayı bulmak, iki sayının tam ortasını (ortalamasını) bulmak gibidir.

2

Apsisleri kendi arasında, ordinatları kendi arasında toplayıp ikiye bölmelisiniz.

3

x

için

(2+8)/2

,

y

için

(6-2)/2

işlemlerini yapın.

Practice More

Farklı bölgelerdeki (örneğin II. ve IV. bölge) noktaların orta noktalarını bularak işaret yönetimi pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu mantığıyla;

x

değeri 2'den 8'e 6 birim artmıştır, orta noktada 3 birim artarak 5 olur.

y

değeri 6'dan -2'ye 8 birim azalmıştır, orta noktada 4 birim azalarak 2 olur.

Estimated Time:45s

Question 19Question →

Dik koordinat düzleminde köşe noktaları $A(-2, 4)$ , $B(4, 2)$ ve $C(7, 9)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin ağırlık merkezinden geçen ve $4x + 3y - 12 = 0$ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

4x + 3y - 27 = 0

3x - 4y + 11 = 0

4x - 3y + 3 = 0

4x + 3y - 4 = 0

4x + 3y - 3 = 0

Show answer & explanation

Answer: $4x + 3y - 27 = 0$

Answer

Denklemi

4x + 3y - 27 = 0

olan doğrudur.

Üçgenin ağırlık merkezi olan

G(3, 5)

noktası doğru denklemini sağlamalıdır. Ayrıca istenen doğru, eğimi

-\frac{4}{3}

olan doğruya paralel olduğu için aynı eğime sahip olmalıdır. Bu iki şartı sağlayan tek denklem

4x + 3y - 27 = 0

ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninin ağırlık merkezi

G(x_0, y_0)

koordinatlarını hesaplayalım.

x_0 = \frac{-2 + 4 + 7}{3} = 3

ve

y_0 = \frac{4 + 2 + 9}{3} = 5

olduğundan

G(3, 5)

noktasıdır.

Bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşe noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

2

4x + 3y - 12 = 0

doğrusunun eğimini bulalım.

3y = -4x + 12 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 4

olup eğim

m = -\frac{4}{3}

'tür.

ax + by + c = 0

biçimindeki bir doğrunun eğimi

-\frac{a}{b}

formülüyle bulunur.

3

G(3, 5)

noktasından geçen ve eğimi

m = -\frac{4}{3}

olan doğrunun denklemini yazalım.

y - 5 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 3y - 15 = -4x + 12 \Rightarrow 4x + 3y - 27 = 0

elde edilir.

Geçtiği noktası

(x_1, y_1)

ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülü ile kurulur.

Key Concept

Ağırlık merkezi koordinatları ve paralel doğruların eğimlerinin eşitliği prensibi.

Hints

1

Önce üçgenin ağırlık merkezinin

(x, y)

koordinatlarını köşe noktalarının ortalamasını alarak bulmalısın.

2

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Verilen

4x + 3y - 12 = 0

doğrusunun eğimini

y

'yi yalnız bırakarak bulabilirsin.

3

Eğimi

-\frac{4}{3}

olan ve

(3, 5)

noktasından geçen doğru denklemini

y - 5 = m(x - 3)

kalıbını kullanarak oluşturabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruda, aynı noktadan geçen ancak verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmayı deneyebilirsin.

Alternative Method

Paralel doğruların denklemleri

4x + 3y + k = 0

formundadır. Ağırlık merkezi olan

G(3, 5)

noktasını bu denklemde yerine yazarak

4(3) + 3(5) + k = 0 \Rightarrow 12 + 15 + k = 0 \Rightarrow k = -27

sonucuna doğrudan ulaşabilirsin.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Dik koordinat düzleminde, denklemi $x - 2y + 6 = 0$ olan $d_1$ doğrusunun, denklemi $x + y - 3 = 0$ olan $d_2$ doğrusuna göre simetriği $d_3$ doğrusudur. Buna göre, $d_3$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan kapalı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{9}{8}

\frac{9}{4}

3

\frac{9}{2}

6

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{4}$

Answer

Üçgensel bölgenin alanı

\frac{9}{4}

birimkaredir.

Doğru cevap,

d_3

doğrusunun denkleminin

y=2x+3

olarak bulunması ve eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanının

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4}

hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

d_1

ve

d_2

doğrularının kesişim noktasını (

K

) bulun.

x - 2y = -6

ve

x + y = 3

denklemleri ortak çözülürse

y=3, x=0

bulunur. Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriği, bu iki doğrunun kesişim noktasından geçer.

2

d_1

doğrusu üzerinde işlem kolaylığı sağlayacak bir nokta (

A

) seçin.

y=0

için

x=-6

bulunur.

A(-6, 0)

noktası seçilir.

Simetrik doğruyu bulmak için kesişim noktası dışında ikinci bir referans noktasına ihtiyaç vardır.

3

A(-6, 0)

noktasının

d_2: x + y - 3 = 0

doğrusuna göre simetriğini (

A'

) hesaplayın.

AA'

doğrusunun eğimi

1

'dir (

d_2

'nin eğimi

-1

olduğundan). Simetri işlemi sonucunda

A'(3, 9)

bulunur.

Simetri dönüşümünde noktalar, simetri eksenine eşit uzaklıkta ve dik konumda taşınır.

4

K(0,3)

ve

A'(3,9)

noktalarından geçen

d_3

doğrusunun denklemini yazın.

Eğim

m = \frac{9-3}{3-0} = 2

. Denklem

y - 3 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 3

.

İki noktası bilinen doğrunun denklemi elde edilir.

5

d_3

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları ve üçgenin alanını hesaplayın.

x=0

için

y=3

;

y=0

için

x=-\frac{3}{2}

. Alan =

\frac{1}{2} \cdot |-\frac{3}{2}| \cdot 3 = \frac{9}{4}

.

Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Bir Doğrunun Başka Bir Doğruya Göre Simetriği

Hints

1

Simetrisi alınan doğru ile simetri ekseni olan doğru kesişiyorsa, elde edilecek simetrik doğru da bu kesişim noktasından geçer.

2

d_1

doğrusu üzerinde rastgele bir nokta (örneğin eksenleri kestiği nokta) seçip, bu noktanın

d_2

doğrusuna göre simetriğini bulun.

3

Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

A(-6,0)

noktasının

x+y-3=0

doğrusuna göre simetriği

A'(3,9)

noktasıdır.

K

ve

A'

noktalarından geçen doğrunun eksenlerle oluşturduğu alanı hesaplayın.

Practice More

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinin, o doğru üzerinde oluşturduğu en kısa mesafe problemleri incelenebilir.

Alternative Method

Eğim açısı yöntemi:

d_2

doğrusu açıortaydır.

d_1

ve

d_2

arasındaki açının tanjantını bularak, aynı açıyı

d_2

ile

d_3

arasına uygulayıp

m_3

eğimi hesaplanabilir.

Estimated Time:4m 0s

Analitik Geometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints