Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 doğrusu üzerinde bulunan bir PP noktası, koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır.

PP noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğuna göre, bu noktanın orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

  1. A
    223\frac{2\sqrt{2}}{3}
  2. 423\frac{4\sqrt{2}}{3}Answer
  3. C
    222\sqrt{2}
  4. D
    324\frac{3\sqrt{2}}{4}
  5. E
    424\sqrt{2}

Answer

İkinci bölgedeki ve eksenlere eşit uzaklıktaki noktanın orijine uzaklığı 423\frac{4\sqrt{2}}{3} birimdir.
İkinci bölgede bulunan ve eksenlere eşit uzaklıkta olan her nokta y=−xy = -x doğrusu üzerindedir. Bu ilişkiyi verilen 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 denkleminde yerine yazdığımızda 2x−(−x)+4=02x - (-x) + 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan 3x=−43x = -4 ve x=−4/3x = -4/3 bulunur. Noktanın koordinatları P(−4/3,4/3)P(-4/3, 4/3) olur. Orijine uzaklık hesaplandığında 16/9+16/9=42/3\sqrt{16/9 + 16/9} = 4\sqrt{2}/3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Noktanın genel formunu belirle.
P(x,y)P(x, y) noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta ise ∣x∣=∣y∣|x| = |y| olur.
Bir noktanın eksenlere uzaklığı, koordinatlarının mutlak değerine eşittir.
2
Bölge şartını uygula.
İkinci bölgede x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için y=−xy = -x ilişkisi vardır.
İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir; mutlak değerce eşitlik için y=−xy = -x olmalıdır.
3
Noktayı doğru denkleminde yerine yaz.
2x−(−x)+4=0⇒3x+4=0⇒x=−432x - (-x) + 4 = 0 \Rightarrow 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}
Nokta doğrunun üzerinde olduğu için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Ordinatı ve orijine uzaklığı hesapla.
y=−(−43)=43y = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} ve uzaklık d=(−43)2+(43)2=329=423d = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}
Orijine olan uzaklık, koordinatların kareleri toplamının kareköküdür.

Key Concept

Analitik düzlemde eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar y=xy = x veya y=−xy = -x doğruları üzerindedir.

Hints

1
Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların koordinatlarının mutlak değerleri birbirine eşittir.
2
İkinci bölgede xx negatif, yy pozitif olduğundan y=−xy = -x denklemini kullanmalısın.
3
Bulduğun xx ve yy değerlerini orijine uzaklık formülünde (karekök içinde kareler toplamı) yerine koy.

Practice More

Aynı doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic