A = \{1, 2, 3, 4\} kümesi üzerinde tanımlı bir f: A \rightarrow A fonksiyonu veriliyor. Her x \in A için, (f \circ f)(x) = 2\neşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?

A = \{1, 2, 3, 4\} kümesi üzerinde tanımlı bir f: A \rightarrow A fonksiyonu veriliyor. He… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi üzerinde tanımlı bir $f: A \rightarrow A$ fonksiyonu veriliyor.

Her

x \in A

için,

(f \circ f)(x) = 2

eşitliği sağlandığına göre, bu koşula uyan kaç farklı

f

fonksiyonu tanımlanabilir?

A
8
B
9
10Answer
D
12
E
16

Answer

Verilen

(f \circ f)(x) = 2

koşulu, fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların tekrar fonksiyona girdiğinde 2 sonucunu vermesini gerektirir. Bu durum

f(2)=2

olmasını zorunlu kılar. Kalan elemanlar ya doğrudan 2'ye gitmeli ya da görüntüsü 2 olan başka bir elemana gitmelidir. Bu durumları sistematik olarak saydığımızda toplam 10 farklı fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

Koşulu analiz et

(f \circ f)(x) = 2

olması,

f

fonksiyonunun görüntü kümesindeki her elemanın

f

altındaki görüntüsünün 2 olduğunu gösterir.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

f(f(x)) = 2

ise,

f(x)

değerleri ne olursa olsun, bu değerlerin tekrar

f

fonksiyonuna girmesiyle sonuç 2 çıkmalıdır.

Sabit nokta kuralını belirle

f(2) = 2

olmak zorundadır.

Eğer

x=2

alırsak,

(f \circ f)(2) = f(f(2)) = 2

olur.

f(2)

değeri

f

fonksiyonunun görüntü kümesindedir, dolayısıyla bu değerin görüntüsü de 2 olmalıdır.

Görüntü kümesi üzerinden durumları sınıflandır

K = \{x \in A \mid f(x) = 2\}

kümesini tanımlayalım.

2 \in K

olmalıdır.

Fonksiyonun yapısını

f(x)=2

olan elemanlar (K kümesi) ve olmayanlar üzerinden kurmak çözümü basitleştirir.

K kümesinin eleman sayısına göre durumları hesapla

Durum 1:

|K|=4

(Tüm elemanlar 2'ye gider). Sadece 1 fonksiyon vardır (

f(x)=2

).
Durum 2:

|K|=3

K=\{2, a, b\}

. Dışarıda kalan 1 eleman (

c

)

K \setminus \{2\}

kümesine gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{2} \times 2^1 = 3 \times 2 = 6

fonksiyon.
Durum 3:

|K|=2

K=\{2, a\}

. Dışarıda kalan 2 eleman (

b, c

)

K \setminus \{2\}

kümesine (yani

a

'ya) gitmelidir. Seçim:

\binom{3}{1} \times 1^2 = 3

fonksiyon.
Durum 4:

|K|=1

K=\{2\}

. Dışarıdaki elemanlar

K \setminus \{2\} = \emptyset

kümesine gidemez. 0 fonksiyon.

Kombinasyon hesabı ile her senaryodaki fonksiyon sayısı bulunur.

Toplamı bul

1 + 6 + 3 + 0 = 10

farklı fonksiyon.

Ayrık durumların toplamı.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Sabit Fonksiyon İlişkisi

Hints

Önce

x=2

için

f(f(2))

değerini düşünün.

f(2)

ne olmak zorundadır?

f(2)=2

olduğunu bulduktan sonra, diğer elemanların (

1, 3, 4

) görüntülerini düşünün. Bu elemanlar ya doğrudan 2'ye gidebilir ya da görüntüsü 2 olan başka bir sayıya gidebilir.

Kümeyi iki parçaya ayırın: Doğrudan 2'ye gidenler (

K

) ve dolaylı yoldan 2'ye gidenler (

L

L

kümesindeki elemanlar

K

'ya gitmek zorundadır, ancak

K

sadece 2'den oluşamaz.

Practice More

Aynı soru

A=\{1,2,3\}

kümesi için sorulsaydı cevap kaç olurdu? (Cevap: 3)

Alternative Method

Graf teorisi ile düşünülürse: 2 nolu düğümde bir döngü (

2 \to 2

) olmalıdır. Diğer düğümler ya doğrudan 2'ye bağlanmalı ya da 2'ye giden başka bir düğüme bağlanmalıdır (derinlik en fazla 2). Ağaç yapısı çizilerek sayılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic