Examkin

Question

Difficulty: HardKümeler

Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈R∣x2−16≤0} A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 16 \le 0 \}
B={x∈R∣∣x−1∣≥2} B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \ge 2 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin ifade ettiği aralık aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [−4,−1]∪[3,4][-4, -1] \cup [3, 4]Answer
  2. B
    (−1,3)(-1, 3)
  3. C
    [−4,4][-4, 4]
  4. D
    [−4,−2]∪[2,4][-4, -2] \cup [2, 4]
  5. E
    [−4,−1)∪(3,4][-4, -1) \cup (3, 4]

Answer

[−4,−1]∪[3,4][-4, -1] \cup [3, 4] aralığıdır.
Doğru cevap, AA kümesi olan [−4,4][-4, 4] aralığı ile BB kümesi olan (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) aralığının ortak elemanlarının birleşimidir. Bu kesişim işlemi sonucunda elde edilen küme, [−4,−1][-4, -1] ve [3,4][3, 4] kapalı aralıklarının birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin çözüm aralığını bul.
x2−16≤0  ⟹  x2≤16  ⟹  −4≤x≤4x^2 - 16 \le 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4. Yani A=[−4,4]A = [-4, 4].
İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin belirlenmesi.
2
BB kümesinin çözüm aralığını bul.
∣x−1∣≥2|x - 1| \ge 2 eşitsizliği iki durumu ifade eder: x−1≥2  ⟹  x≥3x - 1 \ge 2 \implies x \ge 3 VEYA x−1≤−2  ⟹  x≤−1x - 1 \le -2 \implies x \le -1. Yani B=(−∞,−1]∪[3,∞)B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty).
Mutlak değerli eşitsizliğin 'büyüktür' durumuna göre açılması.
3
AA ve BB kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) hesapla.
[−4,4][-4, 4] aralığı ile (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) birleşiminin ortak elemanları: [−4,4][-4, 4] ile (−∞,−1](-\infty, -1] kesişimi [−4,−1][-4, -1] verir. [−4,4][-4, 4] ile [3,∞)[3, \infty) kesişimi [3,4][3, 4] verir.
İki farklı kümenin sayı doğrusu üzerindeki ortak bölgelerinin tespit edilmesi.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve Kümelerle Gösterimi

Hints

1
Önce AA ve BB kümelerinin hangi sayı aralıklarını temsil ettiğini ayrı ayrı bulun.
2
AA kümesi, karesi 16'dan küçük veya eşit olan sayıları; BB kümesi ise 1'e olan uzaklığı 2 birim veya daha fazla olan sayıları içerir.
3
Sayı doğrusu üzerinde AA kümesini [−4,4][-4, 4] olarak çizin. BB kümesini ise 1'den sağa 2 birim gidip (3 ve sonrası) ve sola 2 birim gidip (-1 ve öncesi) olarak işaretleyin. Bu iki çizimin üst üste geldiği yerleri belirleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde sorarak eleman sayısını bulmayı deneyin.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek görsel çözüm: Bir sayı doğrusunda -4 ile 4 arasını tarayın (Set A). Aynı doğru üzerinde -1'den küçük ve 3'ten büyük yerleri tarayın (Set B). İki taramanın da olduğu bölgeler cevaptır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic