Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+2b)⋅(b+3c)=2023(a + 2b) \cdot (b + 3c) = 2023
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

  1. A
    b + c
  2. B
    a⋅ba \cdot b
  3. a + b + cAnswer
  4. D
    a^2 + c^2
  5. E
    3a + 2c

Answer

a+b+ca + b + c ifadesi daima çifttir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır. a+2ba+2b tek ise, 2b2b çift olduğundan aa kesinlikle tektir. b+3cb+3c tek ise, bb ve 3c3c (dolayısıyla cc) zıt karakterlidir (biri tek, biri çift). Bu durumda b+cb+c toplamı kesinlikle tektir. Sonuç olarak a+b+ca + b + c ifadesi, Tek+(Tek)Tek + (Tek) formundadır ve iki tek sayının toplamı daima çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafını analiz et.
2023 tek sayıdır. Çarpım sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır: (a+2b)=Tek(a + 2b) = \text{Tek} ve (b+3c)=Tek(b + 3c) = \text{Tek}.
Çarpma işleminde sonucun tek olabilmesi için tüm çarpanların tek olması gerekir (T⋅T=TT \cdot T = T).
2
Birinci çarpanı kullanarak aa'nın durumunu belirle.
a+2b=Teka + 2b = \text{Tek}. 2b2b her zaman çifttir. Bu durumda aa kesinlikle Tek sayıdır.
Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplanırsa sonuç tek olur (C\c+T=TÇ + T = T).
3
İkinci çarpanı kullanarak bb ve cc arasındaki ilişkiyi belirle.
b+3c=Tekb + 3c = \text{Tek}. Katsayısı tek olan 3c3c, cc ile aynı karakterdedir. Yani b+c=Tekb + c = \text{Tek} demektir.
İki sayının toplamı tek ise, bu sayılardan biri tek, diğeri çifttir. Yani bb ve cc zıt karakterlidir.
4
Doğru seçeneği bulmak için verileri birleştir.
aa tektir, (b+c)(b+c) tektir. Bizden a+b+ca + b + c isteniyor. a+(b+c)=Tek+Tek=C¸ifta + (b+c) = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı daima çifttir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler

Hints

1
Çarpım sonucu 2023 (tek sayı) olduğuna göre, parantez içlerinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyin.
2
a+2ba + 2b tek ise aa nedir? b+3cb + 3c tek ise bb ve cc arasındaki teklik-çiftlik ilişkisi nasıldır?
3
aa kesinlikle tektir. bb ve cc'den biri tek diğeri çifttir, yani (b+c)(b+c) toplamı tektir. a+(b+c)a + (b+c) toplamını düşünün.

Practice More

İçinde faktöriyel bulunan tek-çift sayı sorularını çözerek pratiğinizi artırın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan örnek değerler bulun. a=1a=1 (tek) olsun. 1+2b1+2b tektir. b+3cb+3c de tek olmalı. b=1b=1 (tek) seçersek, 1+3c1+3c tek olmalı →3c\rightarrow 3c çift →c=2\rightarrow c=2 (çift). a=1,b=1,c=2a=1, b=1, c=2 için şıkları deneyin. Sadece a+b+ca+b+c (1+1+2=41+1+2=4) çift çıkar.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic