Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar

a,ba, b ve cc tam sayıları için

* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir çift sayı,
* a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

  1. a+b+ca + b + cAnswer
  2. B
    b+cb + c
  3. C
    a⋅ca \cdot c
  4. D
    a⋅ba \cdot b
  5. E
    a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

Answer

a, b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumları incelendiğinde a'nın tek, b ve c'nin çift olduğu bulunur. Bu durumda a + b + c toplamı daima tek sayıdır.
Verilen iki denklemi sağlayan tek durum a'nın tek, b'nin çift ve c'nin çift olmasıdır. b tek olduğunda iki denklem arasında bir çelişki (a+c ifadesinin hem tek hem çift olması gerektiği) oluşur. Dolayısıyla kesin olan durum a=T,b=C\c,c=C\ca = T, b = Ç, c = Ç şeklindedir. Bu değerlerin toplamı (T+C\c+C\cT+Ç+Ç) her zaman tek sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
b sayısının çift olma durumunu inceleyin.
b çift ise; a⋅C¸+c=C¸⇒c=C¸a \cdot \text{Ç} + c = \text{Ç} \Rightarrow c = \text{Ç} ve a+C¸⋅C¸=T⇒a=Ta + \text{Ç} \cdot \text{Ç} = \text{T} \Rightarrow a = \text{T} bulunur.
Değişkenlerden birini varsayarak diğerlerinin durumunu tutarlılık açısından kontrol etmek gerekir.
2
b sayısının tek olma durumunu inceleyin.
b tek ise; a⋅T+c=C¸⇒a+c=C¸a \cdot \text{T} + c = \text{Ç} \Rightarrow a + c = \text{Ç} ve a+T⋅c=T⇒a+c=Ta + \text{T} \cdot c = \text{T} \Rightarrow a + c = \text{T} olur. a+ca+c aynı anda hem çift hem tek olamaz.
Bu durum bir çelişki yarattığı için b'nin tek olması imkansızdır.
3
Elde edilen sonuçlara göre seçenekleri kontrol edin.
a=Tek,b=C¸ift,c=C¸ifta = \text{Tek}, b = \text{Çift}, c = \text{Çift} olduğuna göre; a+b+c=T+C¸+C¸=Teka + b + c = \text{T} + \text{Ç} + \text{Ç} = \text{Tek} bulunur.
Bulunan pariteleri seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak hangisinin tek olduğunu belirlemek gerekir.

Key Concept

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik-çiftlik (parite) analizi ve durum değerlendirmesi.

Hints

1
Değişkenlerden birine (örneğin b'ye) bir durum atayarak diğerlerinin ne olması gerektiğini bulmaya çalışın.
2
Eğer b tek olsaydı, her iki ifade de a+c toplamının karakterini belirlerdi. Bu durumun bir çelişki yaratıp yaratmadığına bakın.
3
b'nin çift olduğunu belirledikten sonra denklemleri tekrar çözdüğünüzde a'nın tek, c'nin çift çıkması gerektiğini göreceksiniz.

Practice More

Değişkenlerin kuvvetlerini içeren (örneğin ab+ca^b + c) durumları pozitif tam sayılar kümesinde inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic