Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Sayılar
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
(x3−x+1)⋅(y+5)(x^3 - x + 1) \cdot (y + 5)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

  1. A
    x + y
  2. B
    3y + 11
  3. C
    x · y + x
  4. y · (x² + 4)Answer
  5. E
    2x - y + 1

Answer

y · (x² + 4) ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen çarpımın tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir. İlk çarpan olan (x3−x+1)(x^3 - x + 1) ifadesinde x3−x=(x−1)x(x+1)x^3 - x = (x-1)x(x+1) ardışık üç sayının çarpımı olduğu için daima çifttir. Dolayısıyla (x3−x)+1(x^3 - x) + 1 daima tek sayıdır. Bu durumda sonucun tek olması için ikinci çarpan olan (y+5)(y + 5) ifadesinin de tek sayı olması gerekir. y+5y + 5 tek ise yy çift sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde, çift bir sayı olan yy ile çarpılan herhangi bir tam sayı ifadesi (y⋅(x2+4))(y \cdot (x^2 + 4)) daima çift sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
İlk çarpanın yapısını analiz et.
x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1) ifadesi ardışık üç tam sayının çarpımıdır ve daima çifttir. Bu nedenle (x³ - x + 1) ifadesi (Çift + 1) = Tek sayıdır.
Çarpımın sonucunun tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
İkinci çarpanın durumunu belirle.
(y + 5) ifadesi tek sayı olmalıdır.
Bir toplamın tek olması için toplananlardan biri çift, diğeri tek olmalıdır. 5 tek sayı olduğuna göre, y çift sayı olmalıdır.
3
Bulunan bilgileri özetle.
x sayısı tek veya çift olabilir (belirsiz), ancak y sayısı kesinlikle çifttir.
Seçenekleri bu bilgiye göre değerlendirmek gerekir.
4
Seçenekleri y'nin çift olduğu bilgisiyle test et.
y · (x² + 4) seçeneğinde, y çift sayı olduğundan, yanındaki tam sayı çarpanı ne olursa olsun sonuç daima çift sayıdır.
Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Tek-Çift Sayı Özellikleri

Hints

1
Çarpma işleminin sonucunun tek sayı olabilmesi için çarpanların her birinin ne olması gerektiğini düşünün.
2
x3−xx^3 - x ifadesini çarpanlarına ayırarak ardışık sayıların çarpımı kuralını hatırlayın.
3
x(x−1)(x+1)x(x-1)(x+1) çarpımı daima çifttir. Bu, ilk parantezin xx'ten bağımsız olarak tek sayı olduğunu gösterir. Sadece yy'nin durumuna odaklanın.

Alternative Method

Değer vererek çözme: x = 2 verelim. (8-2+1)(y+5) = 7(y+5) olur. Sonucun tek olması için y+5 tek olmalı, yani y çift (örneğin 0) olmalıdır. x=2 ve y=0 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic