Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

Alanı 60 cm260 \text{ cm}^2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları, 1'den büyük aralarında asal tam sayılardır.

Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    80
  2. 118Answer
  3. C
    150
  4. D
    182
  5. E
    214

Answer

Dikdörtgenin çevre uzunluklarının toplamı 118 santimetredir.
Doğru cevap, verilen koşulları sağlayan üç farklı dikdörtgenin (boyutları 3x20, 4x15, 5x12) çevrelerinin toplamıdır. Her bir çift, çarpımları 60 olan, 1'den büyük ve EBOB'ları 1 olan sayılardan oluşur.

Step-by-Step Solution

1
60 sayısının, 1'den büyük pozitif tam sayı çarpan çiftlerini (dikdörtgenin kenar adaylarını) belirle.
Çiftler: (2,30)(2, 30), (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12), (6,10)(6, 10)
Dikdörtgenin alanı a⋅b=60a \cdot b = 60 olduğundan tüm olası kenar çiftleri listelenmelidir.
2
Bu çiftlerden 'aralarında asal' olma şartını sağlayanları seç.
Uygun çiftler: (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12)
Aralarında asal sayılar, 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. (2,30)(2, 30) ve (6,10)(6, 10) çiftlerinin EBOB'u 2 olduğu için elenir.
3
Seçilen her bir çift için dikdörtgenin çevre uzunluğunu (C\c=2(a+b)Ç = 2(a+b)) hesapla.
1. Çift (3, 20): 2(3+20)=462(3+20) = 46 cm
2. Çift (4, 15): 2(4+15)=382(4+15) = 38 cm
3. Çift (5, 12): 2(5+12)=342(5+12) = 34 cm
Dikdörtgenin çevresi, iki kenar toplamının iki katıdır.
4
Bulunan çevre değerlerini topla.
46+38+34=11846 + 38 + 34 = 118
Soruda çevre uzunluğunun alabileceği tüm değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Aralarında asal sayılar, ortak bölenleri sadece 1 olan sayılardır. Bu sayıların asal sayı olması gerekmez; iki bileşik sayı da (örneğin 4 ve 15) aralarında asal olabilir.

Hints

1
Önce çarpımları 60 olan tüm sayı çiftlerini yazın, sonra aralarında asal olmayanları eleyin.
2
Aralarında asal olması için sayıların asal olması gerekmez, sadece ortak bölenleri 1 olmalıdır. (4 ve 15 gibi).

Practice More

Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının en büyük ve en küçük değerini bulma sorularını inceleyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic