Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar
xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.
xy+yx=K60 \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{K}{60}
eşitliğinde KK sayısı 6060 ile aralarında asal bir pozitif tam sayıdır.

Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    42
  2. B
    59
  3. 120Answer
  4. D
    168
  5. E
    180

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 120'dir.
Verilen eşitlikte payda eşitlendiğinde x2+y2xy=K60\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{K}{60} elde edilir. xx ve yy aralarında asal olduğu için ebob(x2+y2,xy)=1\text{ebob}(x^2+y^2, xy)=1 olur. Sağ taraftaki kesir de sadeleşmiş halde verildiğinden (K ve 60 aralarında asal), paydalar eşit olmalıdır (xy=60xy=60). Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan sayı çiftleri (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Denklem simetrik olduğu için xx bu değerlerin hepsini alabilir. Bu değerlerin toplamı 120'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği düzenle ve payda eşitle.
x2+y2x⋅y=K60\frac{x^2 + y^2}{x \cdot y} = \frac{K}{60}
Kesirli ifadelerde toplama işlemi yapmak için paydalar eşitlenmelidir.
2
Aralarında asallık kuralını kullanarak xyxy değerini belirle.
xx ve yy aralarında asal olduğu için x2+y2x^2+y^2 ve xyxy de aralarında asaldır. Eşitliğin sağ tarafındaki K60\frac{K}{60} kesri de sadeleşmiş (aralarında asal) verildiği için, paydalar doğrudan eşitlenmelidir: x⋅y=60x \cdot y = 60
Eğer ebob(A,B)=1\text{ebob}(A,B)=1 ve AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D} (ve C,D aralarında asal) ise A=CA=C ve B=DB=D olmalıdır.
3
Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan (x,y)(x, y) pozitif tam sayı çiftlerini bul.
Çarpımı 60 olan çiftler:
- (1, 60) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (2, 30) →\rightarrow OBEB=2 ×\times
- (3, 20) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (4, 15) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (5, 12) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (6, 10) →\rightarrow OBEB=2 ×\times
Her çarpan çiftinin aralarında asallık şartını (OBEB=1) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir.
4
Simetriyi dikkate alarak xx'in alabileceği değerleri listele ve topla.
Eşitlik xx ve yy için simetriktir, bu yüzden xx bu çiftlerin her iki bileşeni de olabilir.
x∈{1,60,3,20,4,15,5,12}x \in \{1, 60, 3, 20, 4, 15, 5, 12\}
Toplam = 1+60+3+20+4+15+5+12=1201 + 60 + 3 + 20 + 4 + 15 + 5 + 12 = 120
Soruda xx ve yy birbirinden farklı değişkenlerdir, x=1,y=60x=1, y=60 olabileceği gibi x=60,y=1x=60, y=1 de olabilir.

Key Concept

İki sayı (x,yx, y) aralarında asal ise, kareleri toplamı (x2+y2x^2+y^2) ile çarpımları (xyxy) da aralarında asaldır. Bu özellik kesirlerin sadeleşmiş olduğunu garanti eder.

Hints

1
Eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek ifadeyi tek bir kesir haline getirin.
2
xx ve yy aralarında asal ise, oluşturduğunuz kesrin pay ve paydasının da aralarında asal olduğunu hatırlayın. Bu durumda paydalar (xyxy ve 6060) doğrudan eşitlenebilir.
3
x⋅y=60x \cdot y = 60 olmalıdır. Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini yazın ve hangilerinin ortak böleninin sadece 1 olduğunu (aralarında asal) kontrol edin. (1, 60) çiftini unutmayın.

Practice More

Toplamları sabit (örneğin 20) ve aralarında asal olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değeri soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic