Examkin

Aralarında Asal Sayılar

29 questions

Question 1Question →

(2x+1)(2x + 1) ve (3y−4)(3y - 4) aralarında asal sayılardır.

2x+13y−4=5484 \frac{2x + 1}{3y - 4} = \frac{54}{84}

olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen eşitlikteki kesir en sade haline getirildiğinde x=4x=4 ve y=6y=6 bulunur, toplamları 10'dur.
Soruda (2x+1)(2x + 1) ve (3y−4)(3y - 4) ifadelerinin aralarında asal olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, eşitliğin sağ tarafındaki 5484\frac{54}{84} kesri de aralarında asal olacak şekilde sadeleştirilmelidir. Kesir en sade hali olan 914\frac{9}{14}'e getirildikten sonra paylar ve paydalar karşılıklı eşitlenerek x=4x=4 ve y=6y=6 değerleri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kesri en sade haline getir.
5484\frac{54}{84} kesrini sadeleştirmek için her iki tarafı 6'ya bölelim: 54÷684÷6=914\frac{54 \div 6}{84 \div 6} = \frac{9}{14}
Soruda ifadelerin 'aralarında asal' olduğu belirtildiği için, eşitliğin karşı tarafındaki kesrin pay ve paydası da aralarında asal olmalıdır.
2
Pay ve paydaları eşitleyerek denklemleri kur.
2x+1=92x + 1 = 9 ve 3y−4=143y - 4 = 14
İki kesir birbirine eşitse ve her iki kesrin pay ile paydası kendi aralarında asalsa, paylar paylara, paydalar paydalara eşittir.
3
x değerini bul.
2x=9−1⇒2x=8⇒x=42x = 9 - 1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
Birinci dereceden denklem çözümü.
4
y değerini bul.
3y=14+4⇒3y=18⇒y=63y = 14 + 4 \Rightarrow 3y = 18 \Rightarrow y = 6
Birinci dereceden denklem çözümü.
5
İstenen toplamı hesapla.
x+y=4+6=10x + y = 4 + 6 = 10
Sonuç adımı.

Key Concept

Aralarında Asal Sayılar ve Oran Orantı

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki kesri (54/84) en sade haline getirmeyi deneyin.
2
Sol taraftaki ifadeler aralarında asal olduğu için, sağ taraftaki kesrin pay ve paydası da aralarında asal olmalıdır.
3
Kesri 9/14 olarak sadeleştirdikten sonra, 2x+1=92x+1=9 ve 3y−4=143y-4=14 eşitliklerini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, aralarında asal iki sayının EKOK'unun çarpımlarına eşit olduğu kuralını kullanan sorular çözülebilir.

Alternative Method

İçler dışlar çarpımı yaparak 84(2x+1)=54(3y−4)84(2x+1) = 54(3y-4) eşitliğine ulaşılabilir, ancak bu yöntem sayılar büyüdüğü için daha zordur. Sadeleştirme her zaman ilk adım olmalıdır.
Estimated Time:1m 30s
Question 2Question →
xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.
xy+yx=K60 \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{K}{60}
eşitliğinde KK sayısı 6060 ile aralarında asal bir pozitif tam sayıdır.

Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 120'dir.
Verilen eşitlikte payda eşitlendiğinde x2+y2xy=K60\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{K}{60} elde edilir. xx ve yy aralarında asal olduğu için ebob(x2+y2,xy)=1\text{ebob}(x^2+y^2, xy)=1 olur. Sağ taraftaki kesir de sadeleşmiş halde verildiğinden (K ve 60 aralarında asal), paydalar eşit olmalıdır (xy=60xy=60). Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan sayı çiftleri (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Denklem simetrik olduğu için xx bu değerlerin hepsini alabilir. Bu değerlerin toplamı 120'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği düzenle ve payda eşitle.
x2+y2x⋅y=K60\frac{x^2 + y^2}{x \cdot y} = \frac{K}{60}
Kesirli ifadelerde toplama işlemi yapmak için paydalar eşitlenmelidir.
2
Aralarında asallık kuralını kullanarak xyxy değerini belirle.
xx ve yy aralarında asal olduğu için x2+y2x^2+y^2 ve xyxy de aralarında asaldır. Eşitliğin sağ tarafındaki K60\frac{K}{60} kesri de sadeleşmiş (aralarında asal) verildiği için, paydalar doğrudan eşitlenmelidir: x⋅y=60x \cdot y = 60
Eğer ebob(A,B)=1\text{ebob}(A,B)=1 ve AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D} (ve C,D aralarında asal) ise A=CA=C ve B=DB=D olmalıdır.
3
Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan (x,y)(x, y) pozitif tam sayı çiftlerini bul.
Çarpımı 60 olan çiftler:
- (1, 60) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (2, 30) →\rightarrow OBEB=2 ×\times
- (3, 20) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (4, 15) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (5, 12) →\rightarrow Aralarında asal ✓\checkmark
- (6, 10) →\rightarrow OBEB=2 ×\times
Her çarpan çiftinin aralarında asallık şartını (OBEB=1) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir.
4
Simetriyi dikkate alarak xx'in alabileceği değerleri listele ve topla.
Eşitlik xx ve yy için simetriktir, bu yüzden xx bu çiftlerin her iki bileşeni de olabilir.
x∈{1,60,3,20,4,15,5,12}x \in \{1, 60, 3, 20, 4, 15, 5, 12\}
Toplam = 1+60+3+20+4+15+5+12=1201 + 60 + 3 + 20 + 4 + 15 + 5 + 12 = 120
Soruda xx ve yy birbirinden farklı değişkenlerdir, x=1,y=60x=1, y=60 olabileceği gibi x=60,y=1x=60, y=1 de olabilir.

Key Concept

İki sayı (x,yx, y) aralarında asal ise, kareleri toplamı (x2+y2x^2+y^2) ile çarpımları (xyxy) da aralarında asaldır. Bu özellik kesirlerin sadeleşmiş olduğunu garanti eder.

Hints

1
Eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek ifadeyi tek bir kesir haline getirin.
2
xx ve yy aralarında asal ise, oluşturduğunuz kesrin pay ve paydasının da aralarında asal olduğunu hatırlayın. Bu durumda paydalar (xyxy ve 6060) doğrudan eşitlenebilir.
3
x⋅y=60x \cdot y = 60 olmalıdır. Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini yazın ve hangilerinin ortak böleninin sadece 1 olduğunu (aralarında asal) kontrol edin. (1, 60) çiftini unutmayın.

Practice More

Toplamları sabit (örneğin 20) ve aralarında asal olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değeri soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 3Question →

İki pozitif tam sayının 1 sayısından başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu tanıma göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Show answer & explanation

Answer: (1, 45)

Answer

(1, 45) çifti aralarında asaldır.
1 sayısı ile 45 sayısının 1'den başka hiçbir ortak pozitif tam sayı böleni yoktur. Genel bir kural olarak 1, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Step-by-Step Solution

1
Seçeneklerdeki sayı çiftlerinin 1 dışında ortak böleni olup olmadığını kontrol edin.
18 ve 27 (3 ve 9'a bölünür), 25 ve 40 (5'e bölünür), 22 ve 33 (11'e bölünür), 12 ve 14 (2'ye bölünür).
Aralarında asal olmaları için 1'den başka ortak bölenleri olmamalıdır.
2
1 sayısının aralarında asallık kuralındaki yerini değerlendirin.
1 sayısı ile 45 sayısının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoktur.
Matematiksel bir kural olarak 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.

Hints

1
Aralarında asal sayıların kendilerinin asal sayı olma zorunluluğu yoktur.
2
Verilen sayı çiftlerinin EBOB değerlerinin 1 olup olmadığını kontrol edin.
3
1 sayısının tüm pozitif tam sayılarla aralarında asal olduğunu unutmayın.

Practice More

Ardışık iki tam sayının (örneğin 14 ve 15) her zaman aralarında asal olduğunu biliyor muydunuz?

Alternative Method

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak çarpan olup olmadığına bakabilirsiniz. Örneğin 25 = 5² ve 40 = 2³ · 5 olduğu için 5 ortak çarpandır.
Estimated Time:45s
Question 4Question →
aa ve bb aralarında asal, iki basamaklı iki doğal sayıdır.
a+b=40a + b = 40
olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 399

Answer

Çarpımın alabileceği en büyük değer 399'dur.
Toplamları 40 olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir. Birbirine en yakın olan (20, 20) çifti aralarında asal olmadığından, bir sonraki en yakın çift olan (19, 21) seçilir. Bu sayılar hem iki basamaklıdır hem de EBOB(19,21)=1EBOB(19, 21)=1 şartını sağladığı için çarpımları olan 399 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların tanımını hatırla.
EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1
İki sayının aralarında asal olması, 1'den başka ortak bölenleri olmaması anlamına gelir.
2
Toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük değerini bulma kuralını uygula.
Sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilmelidir.
Sayılar arasındaki fark azaldıkça çarpım artar.
3
a+b=40a+b=40 şartını sağlayan en yakın çiftleri aralarında asallık durumuna göre kontrol et.
20-20 (EBOB=20, olmaz), 19-21 (EBOB=1, olur).
20 ve 20 sayıları aralarında asal değildir. Bir sonraki en yakın çift olan 19 ve 21'in ortak böleni yoktur.
4
En yakın aralarında asal çiftin çarpımını hesapla.
19×21=39919 \times 21 = 399
Şartları sağlayan ve birbirine en yakın olan sayılar 19 ve 21'dir.

Key Concept

Toplamları verilen iki sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmeli ve aralarında asal olma şartı (EBOB=1) kontrol edilmelidir.

Hints

1
Çarpımın en büyük olması için sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın seçmeye çalışın.
2
Seçtiğiniz iki basamaklı sayıların ortak böleni olup olmadığını (özellikle 2, 3, 5 gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediklerini) kontrol edin.
3
Sayılar arasındaki fark 0 (20-20) olduğunda aralarında asallık bozulur. Farkı 2 yaparak (19-21) kontrol edin.

Practice More

Benzer bir soruyu 'toplamları 30 olan ve aralarında asal olan kaç farklı (a, b) doğal sayı çifti vardır?' şeklinde çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Toplamları çift (40) olan iki sayının aralarında asal olması için her iki sayının da tek sayı olması gerektiğini fark edebilirsiniz. Çünkü her ikisi çift olsaydı en azından 2'ye bölünürlerdi. 20'ye en yakın tek sayı çiftleri olan (19, 21) ve (17, 23) denenerek hızlıca sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 15s
Question 5Question →
AA ve BB aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
OKEK(A,B)=300OKEK(A, B) = 300

ve A>BA > B koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, AA sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4 farklı değer alabilir.
A ve B aralarında asal olduğundan çarpımları OKEK olan 300'e eşittir. 300 sayısı 22⋅31⋅522^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. A ve B'nin ortak böleni olmaması için, her bir asal çarpanın tüm kuvveti (blok olarak) ya A'da ya da B'de bulunmalıdır. Yani elimizde dağıtılacak 3 bağımsız blok ({4}, {3}, {25}) vardır. Bu 3 blok ile 23=82^3 = 8 farklı (A, B) sıralı ikilisi oluşturulabilir. Simetri gereği bu ikililerin yarısında A > B, diğer yarısında B > A'dır. Dolayısıyla A > B koşulunu sağlayan 4 farklı durum vardır: (300, 1), (100, 3), (75, 4) ve (25, 12).

Step-by-Step Solution

1
OKEK ve aralarında asallık ilişkisini kullanın.
A ve B aralarında asal ise OKEK(A, B) = A · B = 300 olur.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
300 = 2² · 3¹ · 5² = 4 · 3 · 25
Çarpanların aralarında asal olabilmesi için aynı asal sayının tüm kuvvetleri (blok halinde) tek bir sayıda bulunmalıdır.
3
Asal çarpan gruplarını (blokları) belirleyin.
Gruplar: {4}, {3}, {25}. Bu üç grup bölünmeden A veya B sayılarına dağıtılmalıdır.
Örneğin 2² ifadesini 2 ve 2 diye ayıramayız, çünkü o zaman A ve B'nin her ikisi de 2'ye bölünür ve aralarında asal olmazlar.
4
Olası (A, B) ikililerini oluşturun ve A > B şartını kontrol edin.
Toplam 2³ = 8 durum vardır. A > B olanlar: (300, 1), (100, 3), (75, 4), (25, 12).
Simetriden dolayı 8 durumun yarısında A > B, diğer yarısında B > A olacaktır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların çarpımı OKEK'lerine eşittir ve asal çarpanlar sayılara paylaştırılırken aynı tabana sahip üslü ifadeler parçalanamaz.

Hints

1
Aralarında asal iki sayının OKEK'i, bu sayıların çarpımına eşittir.
2
300'ü asal çarpanlarına ayırın: 22⋅3⋅522^2 \cdot 3 \cdot 5^2. Aralarında asallık bozulmasın diye 222^2, 33 ve 525^2 bloklarını parçalamadan A veya B'ye dağıtmalısınız.

Practice More

Benzer bir mantıkla, çarpımları sabit bir sayı olan aralarında asal sayıların toplamının en küçük değeri sorulabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →

Pozitif tam sayılar kümesinde aralarında asal sayılar; 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır.

Buna göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Show answer & explanation

Answer: 1 ve 72

Answer

1 ve 72 çifti aralarında asaldır.
1 ve 72 çiftinde, 1 sayısının tek pozitif böleni 1'dir. Dolayısıyla 72 ile olan tek ortak böleni de 1'dir. Matematiksel bir kural olarak 1, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal olma tanımını hatırla.
İki sayının aralarında asal olması için 1 dışında hiçbir ortak pozitif böleninin olmaması gerekir.
Sorunun çözümündeki temel kriter budur.
2
Özel bir kural olan 1 sayısının durumunu değerlendir.
1 sayısı, tüm pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır.
1'in tek pozitif böleni kendisidir, dolayısıyla başka bir sayı ile 1'den başka ortak böleni olması mümkün değildir.
3
Verilen seçeneklerdeki ortak bölenleri kontrol et.
Diğer seçeneklerdeki sayıların 1 dışında 3, 5, 11 veya 14 gibi ortak bölenleri olduğu görülür.
Aralarında asal olmayan şıkları eleyerek doğru sonuca ulaşılır.

Key Concept

1 sayısı ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.

Hints

1
İki sayının aynı anda hangi sayılara bölündüğünü kontrol edin. Eğer sadece 1'e bölünüyorlarsa aralarında asaldırlar.
2
1 sayısının aralarında asal olma konusundaki özel durumunu hatırlayın; 1 tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
3
Seçeneklerdeki sayıların rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediklerini veya son basamaklarına bakarak 5'e bölünüp bölünmediklerini hızlıca kontrol edebilirsiniz.

Practice More

Ardışık iki pozitif tam sayının (örneğin 15 ve 16) her zaman aralarında asal olduğunu kanıtlamaya çalışın.
Estimated Time:45s
Question 7Question →
xx ve yy aralarında asal doğal sayılar olmak üzere,
x⋅y+72=13yx \cdot y + 72 = 13y
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap, xx'in alabileceği değerlerin toplamı olan 24'tür.
Verilen denklem x=13−72yx = 13 - \frac{72}{y} şeklinde düzenlendiğinde, yy'nin 72'yi bölen ve 5,5'ten büyük bir sayı olması gerektiği bulunur. Olası yy değerleri denenip karşılık gelen xx değerleri bulunduğunda, sadece (1,6),(5,9),(7,12)(1,6), (5,9), (7,12) ve (11,36)(11,36) çiftlerinin aralarında asal olduğu görülür. Bu duruma uyan xx değerlerinin toplamı 1+5+7+11=241+5+7+11=24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde xx'i yalnız bırakarak yy ile ilişkisini belirle.
xy+72=13y⇒xy=13y−72⇒x=13y−72y=13−72yxy + 72 = 13y \Rightarrow xy = 13y - 72 \Rightarrow x = \frac{13y - 72}{y} = 13 - \frac{72}{y}
xx'in doğal sayı olması için yy'nin hangi şartları sağlaması gerektiğini görmek için.
2
xx'in bir doğal sayı olması şartını sağlayan yy değerlerini bul.
x>0x > 0 olması için 13−72y>0⇒13>72y⇒y>7213≈5,513 - \frac{72}{y} > 0 \Rightarrow 13 > \frac{72}{y} \Rightarrow y > \frac{72}{13} \approx 5,5. Ayrıca 72y\frac{72}{y} tam sayı olmalı, yani yy, 72'nin 5,5'ten büyük bölenleri olmalıdır: {6,8,9,12,18,24,36,72}\{6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}.
Olası tüm adayları belirlemek için.
3
Her bir yy değeri için xx'i hesapla ve (x,y)(x, y) çiftinin aralarında asal olup olmadığını kontrol et.
Tablo oluşturarak kontrol edelim:
- y=6⇒x=13−12=1y=6 \Rightarrow x=13-12=1. (1,6)(1,6) aralarında asal mı? EVET.
- y=8⇒x=13−9=4y=8 \Rightarrow x=13-9=4. (4,8)(4,8) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 4).
- y=9⇒x=13−8=5y=9 \Rightarrow x=13-8=5. (5,9)(5,9) aralarında asal mı? EVET.
- y=12⇒x=13−6=7y=12 \Rightarrow x=13-6=7. (7,12)(7,12) aralarında asal mı? EVET.
- y=18⇒x=13−4=9y=18 \Rightarrow x=13-4=9. (9,18)(9,18) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 9).
- y=24⇒x=13−3=10y=24 \Rightarrow x=13-3=10. (10,24)(10,24) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 2).
- y=36⇒x=13−2=11y=36 \Rightarrow x=13-2=11. (11,36)(11,36) aralarında asal mı? EVET.
- y=72⇒x=13−1=12y=72 \Rightarrow x=13-1=12. (12,72)(12,72) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 12).
Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlayan gerçek çözümleri ayrıştırmak için.
4
Şartları sağlayan xx değerlerini topla.
Uygun xx değerleri: 1,5,7,111, 5, 7, 11. Toplam: 1+5+7+11=241 + 5 + 7 + 11 = 24.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenleri olmamalıdır. 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Hints

1
Denklemde xx'i yalnız bırakın: x=13y−72yx = \frac{13y-72}{y}. Bu ifadeyi basit kesirlerine ayırarak (13−72y13 - \frac{72}{y}) xx'in tam sayı olması için yy'nin hangi özellikleri taşıması gerektiğini düşünün.
2
xx'in doğal sayı olabilmesi için 13−72y13 - \frac{72}{y} ifadesinin 0'dan büyük ve tam sayı olması gerekir. Bu da yy'nin 72'nin bir böleni olmasını ve aynı zamanda 13>72y13 > \frac{72}{y} eşitsizliğini sağlamasını gerektirir.
3
Bulduğunuz (x,y)(x, y) çiftleri için OBEB(x, y) = 1 kontrolü yapmayı unutmayın. Örneğin y=8y=8 için x=4x=4 çıkar, ancak 4 ve 8 aralarında asal değildir.
Estimated Time:3m 0s
Question 8Question →

a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a+ba−b=5133\frac{a+b}{a-b} = \frac{51}{33}

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Değişkenlerin çarpımı olan 42 değeri doğru cevaptır.
Verilen oran 51/3351/33, pay ve payda 3 ile sadeleştirildiğinde 17/1117/11 olur. a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal olduğu için a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 eşitlikleri yazılır. Bu sistem çözüldüğünde a=14a=14 ve b=3b=3 bulunur. Bu iki değerin çarpımı 42'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kesri en sade haline getirme
51/33=17/1151/33 = 17/11
Aralarında asal iki sayının oranı, bu sayıların en sade haliyle eşleşmelidir.
2
Pay ve paydayı değişkenlerle eşitleme
a+b=17a+b = 17 ve a−b=11a-b = 11
17 ve 11 aralarında asal olduğu için a+ba+b ve a−ba-b ifadelerine doğrudan eşitlenebilirler.
3
Denklem sistemini çözme
2a=28⇒a=142a = 28 \Rightarrow a = 14 ve b=3b = 3
İki denklem taraf tarafa toplandığında bb değerleri birbirini yok eder ve aa bulunur; ardından herhangi bir denklemde yerine yazılarak bb elde edilir.
4
İstenen çarpımı hesaplama
14×3=4214 \times 3 = 42
Soruda a⋅ba \cdot b ifadesinin değeri sorulmaktadır.

Key Concept

İki sayı aralarında asal ise, bu sayıların birbirine oranı her zaman en sade biçimdedir.

Hints

1
Oranlanan sayıların aralarında asal olması, kesrin en sade biçimde olması gerektiği anlamına gelir.
2
51 ve 33 sayılarını ortak bir bölenle (örneğin 3) sadeleştirmeyi deneyin.
3
Sadeleşmiş hali 17/1117/11 olan kesirde, a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 denklemlerini taraf tarafa toplayarak aa ve bb değerlerine ulaşın.

Practice More

Benzer mantıkla x+yx+y ve 2x−y2x-y ifadelerinin aralarında asal olduğu durumları inceleyen soruları çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 15s
Question 9Question →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
a⋅b+2a=60a \cdot b + 2a = 60
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 97

Answer

Aralarında asallık şartını sağlayan farklı toplamlar 59, 17 ve 21 olduğundan bu değerlerin toplamı 97'dir.
Verilen denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, aa ve bb değerlerini sistematik olarak inceleyebiliriz. bb pozitif tam sayı olduğu için aa değeri 6060'ın 2020 veya daha küçük bir böleni olmalıdır. Bu şartları sağlayan ve aralarında asal olan (a,b)(a, b) ikilileri (1,58)(1, 58), (4,13)(4, 13), (15,2)(15, 2) ve (20,1)(20, 1) olarak bulunur. Bu ikililerden elde edilen farklı a+ba+b toplamları {59,17,21}\{59, 17, 21\} kümesidir. Bu değerlerin toplamı 59+17+21=9759+17+21 = 97 olur.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
a(b+2)=60a(b + 2) = 60
Değişkenlerin alabileceği değerleri 60'ın bölenleri üzerinden daha kolay analiz etmek için.
2
bb pozitif tam sayı (b≥1b \geq 1) olduğu için b+2b+2 ifadesinin alabileceği değerleri belirleyin.
b≥1  ⟹  b+2≥3b \geq 1 \implies b+2 \geq 3 olmalıdır. Buna göre aa, 6060'ın 2020 ve daha küçük pozitif bölenleri olabilir.
bb'nin pozitif tam sayı olma sınırını belirlemek için.
3
aa değerlerine göre bb değerlerini hesaplayın ve aralarında asallık şartını kontrol edin.
- a=1  ⟹  b=58a=1 \implies b=58 (EBOB(1, 58)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=59\implies a+b=59
- a=2  ⟹  b=28a=2 \implies b=28 (EBOB(2, 28)=2, Uygun değil)
- a=3  ⟹  b=18a=3 \implies b=18 (EBOB(3, 18)=3, Uygun değil)
- a=4  ⟹  b=13a=4 \implies b=13 (EBOB(4, 13)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=5  ⟹  b=10a=5 \implies b=10 (EBOB(5, 10)=5, Uygun değil)
- a=6  ⟹  b=8a=6 \implies b=8 (EBOB(6, 8)=2, Uygun değil)
- a=10  ⟹  b=4a=10 \implies b=4 (EBOB(10, 4)=2, Uygun değil)
- a=12  ⟹  b=3a=12 \implies b=3 (EBOB(12, 3)=3, Uygun değil)
- a=15  ⟹  b=2a=15 \implies b=2 (EBOB(15, 2)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=20  ⟹  b=1a=20 \implies b=1 (EBOB(20, 1)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=21\implies a+b=21
Hangi ikililerin 'aralarında asal' tanımına uyduğunu tespit etmek için.
4
Elde edilen farklı a+ba+b değerlerini toplayın.
59+17+21=9759 + 17 + 21 = 97
Soruda istenen 'farklı değerlerin toplamı' sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

İki sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.

Hints

1
Denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde yazarak aa ve b+2b+2 sayılarını 6060'ın çarpanları üzerinden inceleyin.
2
bb sayısının pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın; yani b+2b+2 en az 33 olabilir.
3
Bulduğunuz her (a,b)(a, b) çifti için EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1 olup olmadığını mutlaka kontrol edin.

Practice More

Benzer bir mantıkla x⋅y−3x=12x \cdot y - 3x = 12 denklemini aralarında asal xx ve yy pozitif tam sayıları için çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
EKOK(a,b)+EBOB(a,b)=121 \text{EKOK}(a, b) + \text{EBOB}(a, b) = 121
eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 216

Answer

Toplamın alabileceği farklı değerlerin toplamı 216'dır.
Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK'a, 1 sayısı ise EBOB'a eşittir. Bu kuraldan a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpanlarından aralarında asal olanlar (1,120), (3,40), (5,24) ve (8,15) çiftleridir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 121, 43, 29 ve 23'tür. Hepsinin toplamı 216 eder.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların özelliklerini hatırla ve denkleme uygula.
aa ve bb aralarında asal ise EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b ve EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a,b) = 1 olur. Denklem a⋅b+1=121a \cdot b + 1 = 121 haline gelir.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı çarpımlarına, en büyük ortak böleni ise 1'e eşittir.
2
Çarpım değerini bul ve çarpan çiftlerini listele.
a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpan çiftleri: (1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12).
aa ve bb tam sayı olduğu için 120'yi veren tüm ikililer incelenmelidir.
3
Bu çiftlerden aralarında asal olanları belirle.
Aralarında asal olan çiftler: (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15).
Ortak böleni 1'den büyük olan çiftler (örneğin 2 ve 60, EBOB=2) elenmelidir.
4
Seçilen çiftler için a+ba+b değerlerini hesapla ve topla.
1+120=1211+120=121, 3+40=433+40=43, 5+24=295+24=29, 8+15=238+15=23. Toplam: 121+43+29+23=216121 + 43 + 29 + 23 = 216.
Soruda istenen, bu farklı toplam değerlerinin genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına, EBOB'u 1'e eşittir.

Hints

1
Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. Bunu denklemde yerine koyarak EKOK değerini, dolayısıyla sayıların çarpımını bulabilirsiniz.
2
Çarpımları bulunan sayı (120) için tüm çarpan çiftlerini (1.120, 2.60...) listeleyin.
3
Listelediğiniz çiftlerden sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin. 1 sayısının her sayıyla aralarında asal olduğunu unutmayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 11Question →

aa ve bb aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a⋅b=60a \cdot b = 60

olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Aralarında asal olan ve çarpımları 60 eden pozitif tam sayı çiftleri arasında toplamı en küçük olan 5 ve 12 çiftidir, bu nedenle cevap 17'dir.
Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olma şartını sağlayan çiftler incelendiğinde; (1, 60), (3, 20), (4, 15) ve (5, 12) çiftleri bulunur. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17'dir. Birbirine en yakın olan 5 ve 12 çifti, toplamın en küçük olduğu 17 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı çiftlerini listeleyelim.
(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)
Tüm olası çarpan çiftlerini bularak aralarından uygun olanları seçeceğiz.
2
Bu çiftlerin aralarında asal (ortak bölenleri sadece 1) olup olmadığını kontrol edelim.
Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12). Aralarında asal olmayanlar: (2, 30) → EBOB 2, (6, 10) → EBOB 2.
Soruda a ve b sayılarının aralarında asal olması şartı verilmiştir.
3
Aralarında asal olan çiftlerin toplamlarını hesaplayalım.
1 + 60 = 61, 3 + 20 = 23, 4 + 15 = 19, 5 + 12 = 17.
İstenen en küçük toplamı bulmak için adayların değerlerini karşılaştıracağız.
4
Hesaplanan toplamlar arasından en küçük olanı belirleyelim.
En küçük değer 17'dir.
61, 23, 19 ve 17 değerleri arasında sayısal olarak en küçük olan 17'dir.

Key Concept

Aralarında asal sayılar, 1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılardır. İki sayının çarpımı sabitken, toplamın en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.

Hints

1
Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini bir liste halinde yazarak işe başlayın.
2
Yazdığınız çiftlerden, her ikisini de bölen 1'den büyük bir sayı (örneğin 2, 3 veya 5) olup olmadığını kontrol edin.
3
Toplamın küçük olması için sayıların birbirine sayısal olarak yakın olması gerektiğini unutmayın. 5 ve 12 çiftini inceleyin.

Practice More

Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların aralarında asal seçilmesi gerekip gerekmediğini tartışan benzer sorular çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →
Aralarında asal olan xx ve yy pozitif tam sayıları için 2x+3y=842x + 3y = 84 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 78'dir.
Doğru cevap, xx ve yy'nin aralarında asal olma şartını sağlayan tüm kk değerlerinin dikkatlice belirlenmesiyle bulunur. 2x+3y=842x + 3y = 84 denklemi parametrik olarak x=3k,y=28−2kx=3k, y=28-2k şeklinde çözüldüğünde, EBOB(3k,28−2k)=1EBOB(3k, 28-2k)=1 şartını sağlayan kk değerleri sadece 1,3,91, 3, 9 ve 1313'tür. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 3,9,273, 9, 27 ve 3939 olup toplamları 7878'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyerek değişkenler arasındaki bağıntıyı kur.
2x=84−3y⇒2x=3(28−y)2x = 84 - 3y \Rightarrow 2x = 3(28 - y). Bu eşitlikten xx'in 3'ün katı olması gerektiği anlaşılır (x=3kx=3k).
x ve y tam sayı olduğu için katsayılar arası bölünebilme ilişkisi kurulmalıdır.
2
x yerine 3k yazarak y'yi k cinsinden ifade et ve k'nın alabileceği aralığı bul.
2(3k)+3y=84⇒2k+y=28⇒y=28−2k2(3k) + 3y = 84 \Rightarrow 2k + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 2k. y>0y > 0 olduğu için 28−2k>0⇒k<1428 - 2k > 0 \Rightarrow k < 14. Yani k∈{1,2,...,13}k \in \{1, 2, ..., 13\}.
Pozitif tam sayı şartını sağlamak için çözüm aralığı sınırlandırılmalıdır.
3
Aralarında asallık şartını (EBOB(x,y)=1EBOB(x, y) = 1) her k değeri için test et.
İncelenen çiftler: k=1→(3,26)k=1 \rightarrow (3, 26) (OK), k=3→(9,22)k=3 \rightarrow (9, 22) (OK), k=9→(27,10)k=9 \rightarrow (27, 10) (OK), k=13→(39,2)k=13 \rightarrow (39, 2) (OK). Diğerleri elenir.
x ve y aralarında asal olmalıdır. Çift sayılar (k çift ise), 3'ün katları (k=5, 11) ve 7'nin katları (k=7) elenmelidir.
4
Geçerli x değerlerini topla.
Geçerli x değerleri: 3, 9, 27, 39. Toplam: 3+9+27+39=783 + 9 + 27 + 39 = 78.
Sonuç istenen toplamı verir.

Key Concept

Bu soru, doğrusal Diophantine denklemlerinin çözümü ile aralarında asallık kavramının sentezini gerektirir. Sadece denklem çözmek yetmez, bulunan köklerin ortak bölen analizi (sieve/eleme yöntemi) yapılmalıdır.

Hints

1
Denklemi 2x=84−3y2x = 84 - 3y şeklinde yazarak xx'in hangi sayının katı olması gerektiğini düşünün.
2
x=3kx = 3k dönüşümü yaparak yy'yi kk cinsinden ifade edin ve kk'nın alabileceği en büyük değeri bulun.
3
x=3kx=3k ve y=28−2ky=28-2k bulduktan sonra, kk'nın 1'den 13'e kadar olan değerleri için xx ve yy'nin ortak böleni olup olmadığını tek tek kontrol edin (örneğin k=7 için x=21, y=14 olur).

Practice More

Benzer bir mantıkla 3x−4y=603x - 4y = 60 denkleminde x+yx+y toplamının en küçük değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: 2x≡−3y(modp)2x \equiv -3y \pmod p analiziyle hangi asal çarpanların (2, 3, 7) xx ve yy'yi aynı anda bölebileceğini baştan belirleyip o kk değerlerini eleyebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Question 13Question →

xx bir pozitif tam sayı olmak üzere, x+3x+3 ve x+14x+14 sayılarının aralarında asal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, xx aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

19 değeri olamaz, çünkü bu durumda sayılar 11'in katı olur.
İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak bölenleri olmamalıdır. Verilen (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14) sayılarının farkı 11'dir. Öklid algoritmasına göre, bu iki sayının herhangi bir ortak böleni, farkları olan 11'i de bölmelidir. 11 asal olduğu için, bu sayılar ancak ve ancak ikisi de 11'in katı ise aralarında asal olmazlar. Seçeneklerdeki 19 değeri yerine konulduğunda sayılar 22 ve 33 olur; her ikisi de 11'e bölündüğü için aralarında asal değildirler.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıların EBOB özelliklerini incele.
EBOB(a, b) = EBOB(a, b-a) özelliğini kullanalım. Sayılarımız (x+3)(x+3) ve (x+14)(x+14).
İki sayının en büyük ortak böleni, bu sayıların farkını da bölmek zorundadır.
2
Sayıların farkını hesapla.
Fark = (x+14)−(x+3)=11(x+14) - (x+3) = 11.
Bu fark sabittir ve x değerine bağlı değildir.
3
Aralarında asallık koşulunu analiz et.
Bu iki sayının ortak böleni varsa, bu bölen 11'i de bölmelidir. 11 asal sayı olduğundan, ortak bölen sadece 1 veya 11 olabilir.
Sayıların aralarında asal olması için ortak bölenin 1 olması gerekir. Eğer sayılar 11'in katı ise aralarında asal olmazlar.
4
Seçenekleri bu kurala göre test et.
x=19 için: Sayılar (19+3)=22(19+3)=22 ve (19+14)=33(19+14)=33 olur. Her ikisi de 11'e bölünür.
22 ve 33 sayılarının EBOB'u 11'dir, yani aralarında asal değildirler. Bu yüzden x değeri 19 olamaz.

Key Concept

İki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların farkını da böler. Eğer fark asal sayı ise, sayılar ya aralarında asaldır ya da o asal sayının katıdırlar.

Hints

1
İki sayının aralarında asal olması için ortak bölenlerinin sadece 1 olması gerekir.
2
Bu iki sayının farkını bulun: (x+14)−(x+3)(x+14) - (x+3) kaç eder? Ortak bölen bu farkı da bölmelidir.
3
Fark 11'dir. Eğer bu sayılar 11'in katı olurlarsa aralarında asal olamazlar. Hangi şık sayıları 11'in katı yapar?

Alternative Method

Şıklardan giderek her bir x değeri için sayı çiftlerini oluşturup EBOB'larına bakılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 14Question →

Alanı 60 cm260 \text{ cm}^2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları, 1'den büyük aralarında asal tam sayılardır.

Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 118

Answer

Dikdörtgenin çevre uzunluklarının toplamı 118 santimetredir.
Doğru cevap, verilen koşulları sağlayan üç farklı dikdörtgenin (boyutları 3x20, 4x15, 5x12) çevrelerinin toplamıdır. Her bir çift, çarpımları 60 olan, 1'den büyük ve EBOB'ları 1 olan sayılardan oluşur.

Step-by-Step Solution

1
60 sayısının, 1'den büyük pozitif tam sayı çarpan çiftlerini (dikdörtgenin kenar adaylarını) belirle.
Çiftler: (2,30)(2, 30), (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12), (6,10)(6, 10)
Dikdörtgenin alanı a⋅b=60a \cdot b = 60 olduğundan tüm olası kenar çiftleri listelenmelidir.
2
Bu çiftlerden 'aralarında asal' olma şartını sağlayanları seç.
Uygun çiftler: (3,20)(3, 20), (4,15)(4, 15), (5,12)(5, 12)
Aralarında asal sayılar, 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. (2,30)(2, 30) ve (6,10)(6, 10) çiftlerinin EBOB'u 2 olduğu için elenir.
3
Seçilen her bir çift için dikdörtgenin çevre uzunluğunu (C\c=2(a+b)Ç = 2(a+b)) hesapla.
1. Çift (3, 20): 2(3+20)=462(3+20) = 46 cm
2. Çift (4, 15): 2(4+15)=382(4+15) = 38 cm
3. Çift (5, 12): 2(5+12)=342(5+12) = 34 cm
Dikdörtgenin çevresi, iki kenar toplamının iki katıdır.
4
Bulunan çevre değerlerini topla.
46+38+34=11846 + 38 + 34 = 118
Soruda çevre uzunluğunun alabileceği tüm değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Aralarında asal sayılar, ortak bölenleri sadece 1 olan sayılardır. Bu sayıların asal sayı olması gerekmez; iki bileşik sayı da (örneğin 4 ve 15) aralarında asal olabilir.

Hints

1
Önce çarpımları 60 olan tüm sayı çiftlerini yazın, sonra aralarında asal olmayanları eleyin.
2
Aralarında asal olması için sayıların asal olması gerekmez, sadece ortak bölenleri 1 olmalıdır. (4 ve 15 gibi).

Practice More

Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının en büyük ve en küçük değerini bulma sorularını inceleyin.
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →

Birbirinden farklı A,BA, B ve CC pozitif tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
- AA ve BB sayıları aralarında asaldır.
- BB ve CC sayıları aralarında asaldır.
- AA ve CC sayıları aralarında asal değildir.
A+B+C=20A + B + C = 20 olduğuna göre, BB sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

B sayısının alabileceği en büyük değer 11'dir.
B sayısının 11 olması durumunda, toplamları 9 olan ve aralarında asal olmayan 3 ve 6 sayıları A ve C olarak atanabilir. Bu durumda A ile B (3 ve 11) ile B ile C (11 ve 6) aralarında asal kalırken, A ile C (3 ve 6) aralarında asal olmaz. Tüm sayılar birbirinden farklı ve toplamları 20'dir.

Step-by-Step Solution

1
Koşulların analiz edilmesi
A,B,CA, B, C farklı pozitif tam sayılar. GCD(A,B)=1GCD(A,B)=1, GCD(B,C)=1GCD(B,C)=1, GCD(A,C)>1GCD(A,C)>1 ve A+B+C=20A+B+C=20.
Soruda verilen kısıtlamaları matematiksel dile çevirmek çözümü kolaylaştırır.
2
En büyük B değerini bulmak için seçeneklerin büyükten küçüğe denenmesi
B=19→A+C=1B=19 \rightarrow A+C=1 (Pozitif tam sayılar için imkansız).
B=17→A+C=3B=17 \rightarrow A+C=3 ise (1,2)(1,2) olabilir ama GCD(1,2)=1GCD(1,2)=1 (Uygun değil).
B=15→A+C=5B=15 \rightarrow A+C=5 ise (1,4)(1,4) veya (2,3)(2,3) olabilir, her ikisi de aralarında asaldır (Uygun değil).
B=13→A+C=7B=13 \rightarrow A+C=7 ise (1,6),(2,5),(3,4)(1,6), (2,5), (3,4) çiftlerinin tamamı aralarında asaldır (Uygun değil).
B'nin en büyük değeri istendiği için denemeye en büyük sayıdan başlanır.
3
B=11 durumunun kontrol edilmesi
B=11B=11 ise A+C=9A+C=9 olur. AA ve CC aralarında asal olmasın istendiği için (3,6)(3,6) çifti seçilebilir.
A ve C'nin toplamı 9 olup aralarında asal olmayan en küçük farklı pozitif tam sayı çifti 3 ve 6'dır.
4
Tüm koşulların teyit edilmesi
A=3,B=11,C=6A=3, B=11, C=6 için:
- GCD(3,11)=1GCD(3, 11) = 1 (Doğru)
- GCD(11,6)=1GCD(11, 6) = 1 (Doğru)
- GCD(3,6)=3>1GCD(3, 6) = 3 > 1 (Doğru)
- 3+11+6=203+11+6=20 (Doğru)
Seçilen değerlerin sorudaki tüm öncülleri karşıladığından emin olunur.

Key Concept

İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal olmayan sayıların en az bir tane 1'den büyük ortak böleni bulunur.

Hints

1
B sayısını en büyük yapmak için A ve C sayılarını mümkün olduğunca küçük ama aralarında asal olmayacak şekilde seçmelisiniz.
2
A ve C aralarında asal değilse, en az bir ortak bölenleri (örneğin 2 veya 3) olmalıdır. En küçük böyle çift (2,4) veya (3,6) gibi düşünülebilir.
3
B değerini 13'ten başlayarak küçültün ve A+C toplamından elde edeceğiniz çiftleri kontrol edin. A ile C'nin 1'den büyük ortak böleni olmalı!

Practice More

Toplamları verilen üç sayının aralarında asallık ilişkilerini içeren farklı senaryoları (örneğin ikişerli aralarında asal olma) çalışarak pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 16Question →

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x+60y=12x + \frac{60}{y} = 12

olduğuna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

x'in alabileceği değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen denklemde x'in pozitif tam sayı olması için y'nin 5'ten büyük ve 60'ı bölen bir sayı olması gerekir. Olası (x,y) ikilileri incelendiğinde; (2,6) ve (6,10) gibi çiftlerin ortak bölenleri olduğu için aralarında asal değildir. Ancak (7,12), (8,15), (9,20) ve (11,60) çiftleri aralarında asaldır. Bu durumda x'in alabileceği değerler 7, 8, 9 ve 11 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikte x'i yalnız bırakarak y'nin özelliklerini belirle.
x=12−60yx = 12 - \frac{60}{y}
x'in tam sayı olabilmesi için y'nin 60'ı tam bölmesi gerekir.
2
x ve y'nin pozitif tam sayı olması şartını kullanarak y'nin alabileceği değer aralığını bul.
x>0⇒12−60y>0⇒12>60y⇒y>5x > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{y} > 0 \Rightarrow 12 > \frac{60}{y} \Rightarrow y > 5
x pozitif bir tam sayı olduğu için 0 veya negatif olamaz.
3
y için 5'ten büyük olan 60'ın bölenlerini listele ve her biri için x değerini hesapla.
y adayları: 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Buna karşılık gelen x değerleri sırasıyla: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Tüm potansiyel (x, y) ikililerini oluşturmak için.
4
Her ikili için 'aralarında asal' olma şartını kontrol et.
Geçerli ikililer: (7, 12), (8, 15), (9, 20), (11, 60).
Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlamayanları elemek için.
5
Şartı sağlayan x değerlerini topla.
7+8+9+11=357 + 8 + 9 + 11 = 35
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Aralarında Asal Sayılar

Hints

1
Denklemde x'i yalnız bırakın: x=12−60yx = 12 - \frac{60}{y}. x'in pozitif tam sayı olması için y hangi değerleri alabilir?
2
y sayısı 60'ın böleni olmalıdır, ancak x > 0 olduğu için 60y<12\frac{60}{y} < 12 şartı sağlanmalıdır. Yani y > 5 olmalıdır.
3
Bulduğunuz (x, y) çiftlerinin her biri için EBOB(x, y) = 1 olup olmadığını kontrol edin. Örneğin x=2 ve y=6 için EBOB 2'dir, bu yüzden bu çözüm geçersizdir.

Practice More

Benzer bir mantıkla 'a ve b aralarında asal, a.b = 72 ise a+b kaç farklı değer alır?' sorusu çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 17Question →

nn bir pozitif tam sayı olmak üzere, 3n+13n+1 ve 5n+45n+4 sayıları aralarında asal değildir.

Buna göre, nn sayısının alabileceği iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

n sayısının alabileceği en küçük iki basamaklı değerlerin toplamı 39'dur.
Verilen 3n+13n+1 ve 5n+45n+4 sayılarının aralarında asal olmaması, bu iki sayının ortak bir asal bölene sahip olduğu anlamına gelir. Öklid algoritması adımları (5n+4−(3n+1)=2n+35n+4 - (3n+1) = 2n+3; 3n+1−(2n+3)=n−23n+1 - (2n+3) = n-2; 2n+3−2(n−2)=72n+3 - 2(n-2) = 7) takip edildiğinde bu ortak bölenin sadece 7 olabileceği görülür. Dolayısıyla n−2n-2 sayısı 7'nin katı olmalıdır (n=7k+2n = 7k+2). Bu şartı sağlayan iki basamaklı en küçük tam sayılar 16 ve 23 olup toplamları 39'dur.

Step-by-Step Solution

1
İki sayının aralarında asal olmama şartını belirlemek.
EBOB(5n+4,3n+1)>1EBOB(5n+4, 3n+1) > 1
Aralarında asal olmayan sayıların 1'den büyük en az bir ortak böleni olmalıdır.
2
Öklid algoritması kullanarak EBOB ifadesini sadeleştirmek.
EBOB(5n+4,3n+1)=EBOB(3n+1,2n+3)=EBOB(2n+3,n−2)=EBOB(n−2,7)EBOB(5n+4, 3n+1) = EBOB(3n+1, 2n+3) = EBOB(2n+3, n-2) = EBOB(n-2, 7)
Sayılar arasındaki fark veya katlar çıkarılarak EBOB'un değişmemesi kuralı uygulanmıştır.
3
Ortak bölenin sağlanması için n üzerindeki kısıtı bulmak.
n−2=7k⇒n=7k+2n-2 = 7k \Rightarrow n = 7k+2
EBOB(n−2,7)>1EBOB(n-2, 7) > 1 olması için n−2n-2 ifadesi 7'nin katı olmalıdır.
4
İki basamaklı en küçük n değerlerini tespit etmek.
k=1⇒n=9k=1 \Rightarrow n=9 (tek basamaklı), k=2⇒n=16k=2 \Rightarrow n=16 (iki basamaklı), k=3⇒n=23k=3 \Rightarrow n=23 (iki basamaklı)
kk tam sayı değerleri verilerek iki basamaklı ilk iki değer bulunur.
5
Bulunan değerleri toplamak.
16+23=3916 + 23 = 39
Soruda istenen iki basamaklı en küçük iki farklı değerin toplamı hesaplanır.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olmaması, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1'den büyük olması anlamına gelir. Polinom şeklindeki ifadelerin EBOB'u bulunurken Öklid algoritması (EBOB(a,b)=EBOB(b,a−kb)EBOB(a, b) = EBOB(b, a-kb)) en etkili yöntemdir.

Practice More

Benzer bir soru olarak, 2n+12n+1 ve 3n+23n+2 sayılarının her nn pozitif tam sayısı için neden aralarında asal olduğunu ispatlayınız.

Alternative Method

n yerine küçük tam sayı değerleri vererek deneme yapılabilir: n=2 için (7, 14) aralarında asal değildir. n=9 için (28, 49) aralarında asal değildir. Artış miktarının 7 olduğu görülerek n=16 ve n=23 değerlerine ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 18Question →

Pozitif iki tam sayının 11 sayısından başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu tanıma göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Show answer & explanation

Answer: 11 ve 6363

Answer

11 ve 6363 çifti aralarında asaldır.
Doğru cevap olan 11 ve 6363 çiftinde, 11 sayısı her pozitif tam sayı ile aralarında asal olma özelliğine sahiptir. Ortak bölenleri sadece 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların tanımını hatırla.
İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 11 olması gerekir.
Tanım gereği, ortak bölenlerin sadece 11 olması şarttır.
2
Seçeneklerdeki sayıların ortak bölenlerini incele.
1212 ve 2121 (33 ile bölünür), 2020 ve 3535 (55 ile bölünür), 1414 ve 3535 (77 ile bölünür), 2222 ve 5555 (1111 ile bölünür).
Bu çiftlerin 11 dışında ortak bölenleri bulunduğu için aralarında asal olamazlar.
3
11 sayısının özelliğini değerlendir.
11 sayısı ile 6363 sayısının tek ortak böleni 11'dir.
11 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Key Concept

Aralarında asallık kavramı, sayıların asal olmasını gerektirmez; sadece ortak bölenlerinin yalnızca 1 olmasını gerektirir.

Hints

1
Aralarında asal sayıların tek ortak böleni 11 olmalıdır.
2
Sayıların kendilerinin asal olması şart değildir; ortak bölenlerini kontrol edin.
3
11 sayısının bütün pozitif tam sayılarla aralarında asal olduğunu unutmayın.

Practice More

Ardışık sayıların her zaman aralarında asal olduğunu biliyor muydunuz? Örneğin 8 ve 9'u inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak çarpan olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Ortak asal çarpanı olmayan sayılar aralarında asaldır.
Estimated Time:45s
Question 19Question →

Bir kamu kurumunun arşivinde 1'den 60'a kadar numaralandırılmış (1 ve 60 dahil) 60 adet dosya bulunmaktadır. Bir memur, bu dosyalar arasından numarası 60 ile aralarında asal olanları ayırarak 'İncelenecekler' rafına kaldırmıştır. Daha sonra, bir başka görevli bu raftaki dosyalardan numarası 7 ile aralarında asal olmayanları tespit edip raftan indirmiştir.

Buna göre, son durumda 'İncelenecekler' rafında kaç adet dosya kalmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Rafta kalan dosya sayısı 14'tür.
Soruda iki aşamalı bir eleme işlemi vardır. İlk olarak 60 sayısının asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'e bölünmeyen 1-60 arasındaki sayılar bulunur. Bu sayılar toplam 16 tanedir. İkinci aşamada ise bu 16 sayı içinden 7 ile aralarında asal olmayanlar, yani 7'nin katı olanlar çıkarılır. Bu grupta 7'nin katı olan sadece 7 ve 49 sayıları vardır. Dolayısıyla 16 dosyadan 2'si çıkarıldığında geriye 14 dosya kalır.

Step-by-Step Solution

1
İlk aşamada 1'den 60'a kadar olan sayılardan 60 ile aralarında asal olanların sayısını bulmak için Euler (Phi) fonksiyonu veya eleme yöntemi kullanılır.
60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu çarpanlara bölünmeyen sayılar seçilmelidir.
Aralarında asallık tanımı gereği, seçilen sayıların 2, 3 ve 5 çarpanlarını içermemesi gerekir.
2
60 ile aralarında asal olan sayıların adedini hesapla.
Formül: 60 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) * (1 - 1/5) = 60 * (1/2) * (2/3) * (4/5) = 16 adet sayı vardır.
Bu 16 sayı 'İncelenecekler' rafına ilk konulanlardır: {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59}.
3
İkinci aşamada, bu küme içinden 7 ile aralarında asal olmayan (yani 7'nin katı olan) sayıları tespit et.
Kümedeki 7'nin katları: 7 ve 49. (Diğer 7 katları olan 14, 21, 28... zaten ilk aşamada 2, 3 veya 5'e bölündüğü için elenmişti).
Sadece 7 ve 49 sayıları 7 ile aralarında asal değildir (ikisi de 7'ye tam bölünür).
4
İlk kümedeki eleman sayısından çıkarılacak sayıların adedini düş.
16 - 2 = 14.
Toplam 16 dosyadan 2 tanesi (7 ve 49 numaralılar) indirildi.

Key Concept

Euler Phi Fonksiyonu ve İçerme-Dışlama Prensibi

Hints

1
Önce 60 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5) bulun ve 1-60 arasında bu çarpanlara bölünmeyen sayıların adedini hesaplayın.
2
Bulduğunuz bu sayılar (60 ile aralarında asal olanlar) arasından, 7 ile aralarında asal olmayanları yani 7'nin katlarını bulup çıkarmanız gerekir.
3
60 ile aralarında asal olan 16 sayı vardır. Bu sayılar içinde 7'nin katı olanlar sadece 7 ve 49'dur.

Practice More

Benzer mantıkla, 'x sayısı 30 ile aralarında asaldır ancak 11 ile aralarında asal değildir' koşulunu sağlayan sayıların bulunması sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Tüm sayıları tek tek yazmak yerine Euler Phi fonksiyonu ile s(A) = 60(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5) = 16 bulunur. Bu kümedeki elemanlar 2, 3, 5'e bölünmez. 7 ile aralarında asal olmayanlar 7'nin katlarıdır. 60'a kadar 7'nin katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Bunlardan 2, 3 veya 5'e bölünenleri eleyince geriye {7, 49} kalır. 16 - 2 = 14.
Estimated Time:2m 30s
Question 20Question →

Bir matematik etkinliğinde sayılarla bir zincir oluşturulacaktır. Bu zincirdeki kurala göre, yan yana gelen her iki sayının aralarında asal olması gerekmektedir. Zincirin ilk halkasına 1515 sayısı yazılmıştır. Buna göre, bu zincirin ikinci halkasına aşağıdaki sayılardan hangisi yazılamaz?

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Zincirin ikinci halkasına 35 sayısı yazılamaz çünkü 15 ve 35 aralarında asal değildir.
Verilen zincir kuralına göre sayıların aralarında asal olması gerekmektedir. 15 sayısının bölenleri arasında 5 bulunmaktadır. 35 sayısının bölenleri arasında da 5 bulunduğu için, bu iki sayının 1'den başka bir ortak böleni (5) vardır. Dolayısıyla 15 ve 35 aralarında asal değildir ve yan yana yazılamazlar.

Step-by-Step Solution

1
15 sayısının asal çarpanlarını ve bölenlerini belirleyiniz.
15=3×515 = 3 \times 5. Bölenleri: 1, 3, 5, 15.
Bir sayının diğer sayılarla ortak böleni olup olmadığını anlamak için önce kendi bölenlerini bilmeliyiz.
2
Seçeneklerdeki sayıların 15 ile ortak böleni olup olmadığını kontrol ediniz.
35 sayısının bölenleri 1, 5, 7, 35'tir. 15 ile ortak böleni 5'tir.
Aralarında asal olmama durumu, 1'den başka en az bir ortak bölenin bulunmasıdır.
3
Diğer seçenekleri aralarında asallık kuralına göre değerlendiriniz.
1 sayısı her sayıyla asaldır. 14, 22 ve 28 sayılarının 15 ile (3 ve 5 çarpanları ile) hiçbir ortak asalı yoktur.
Tanımı doğrulamak ve yanlış seçenekleri elemek için gereklidir.

Key Concept

İki pozitif tam sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

Hints

1
İki sayının aralarında asal olması demek, 1 dışında hiçbir ortak bölenlerinin olmaması demektir.
2
15 sayısı 3 ve 5'e bölünür. Seçeneklerde 3 veya 5'e bölünen bir sayı var mı?
3
35 sayısı 5'e bölünür, 15 de 5'e bölünür. Bu durum aralarında asallık kuralını bozar.

Practice More

Ardışık sayıların her zaman aralarında asal olduğunu unutmayın (Örn: 14 ve 15).

Alternative Method

Sayıların asal çarpanlarını yazarak karşılaştırabilirsiniz. 15 = {3, 5}, 14 = {2, 7}, 35 = {5, 7}. Ortak küme elemanı olan (5) çift aralarında asal değildir.
Estimated Time:45s
Page 1 / 2Next