Examkin

Question

Difficulty: MediumKümeler

A={x∣10<x≤30, x=3k, k∈Z}A = \{x \mid 10 < x \leq 30, \text{ } x = 3k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣15≤x<40, x=2k, k∈Z}B = \{x \mid 15 \leq x < 40, \text{ } x = 2k, \text{ } k \in \mathbb{Z}\}
kümeleri veriliyor. Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    2
  2. 3Answer
  3. C
    4
  4. D
    7
  5. E
    16

Answer

Ortak elemanlar 18, 24 ve 30 olduğundan eleman sayısı 3'tür.
Kesişim kümesi, her iki kümenin de eleman özelliklerini aynı anda taşıyan sayılardan oluşur. xx hem 3'ün hem de 2'nin katı olmalıdır (EKOK(2,3)=6EKOK(2,3) = 6). Ayrıca xx hem (10,30](10, 30] hem de [15,40)[15, 40) aralığında olmalıdır, yani 15≤x≤3015 \leq x \leq 30 şartını sağlamalıdır. Bu aralıktaki 6'nın katları 18, 24 ve 30'dur.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyelim.
A={12,15,18,21,24,27,30}A = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}
10 ile 30 arasındaki (30 dahil) 3'ün katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.
2
BB kümesinin elemanlarını listeleyelim.
B={16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38}B = \{16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38\}
15 ile 40 arasındaki (15 dahil, 40 hariç) 2'nin katı olan tam sayıları bulmamız gerekir.
3
A∩BA \cap B (kesişim) kümesinin elemanlarını belirleyelim.
A∩B={18,24,30}A \cap B = \{18, 24, 30\}
Her iki listede de ortak olan sayıları seçmelisiniz. Bu sayılar aynı zamanda 2 ve 3'ün en küçük ortak katı olan 6'nın katlarıdır.
4
Eleman sayısını sayalım.
s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3
Kümede 3 adet eleman bulunmaktadır.

Key Concept

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerde kesişim işlemi, her iki kümenin de şartlarını sağlayan elemanların bulunmasını gerektirir.

Hints

1
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.
2
Her iki kümede de ortak olan elemanlar hem 2'nin hem de 3'ün katı (yani 6'nın katı) olmalıdır.
3
xx sayısının hem 10<x≤3010 < x \leq 30 hem de 15≤x<4015 \leq x < 40 aralıklarını sağlaması gerekir. Yani xx, 15 ile 30 (dahil) arasında olmalıdır.

Practice More

Kümelerin birleşim kümesinin eleman sayısını s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü ile hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Aralıkları birleştirerek ortak bir aralık bulun: max⁡(10,15)≤x≤min⁡(30,39)⇒15≤x≤30\max(10, 15) \leq x \leq \min(30, 39) \Rightarrow 15 \leq x \leq 30. Hem 2 hem 3'e bölünen sayılar 6'nın katıdır. 15 ile 30 arasındaki 6'nın katları: 18,24,3018, 24, 30.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic