Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
aa, bb ve cc sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere; abcabc, bcabca ve cabcab üç basamaklı doğal sayıları için
abc+bca+cab=1665abc + bca + cab = 1665
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a<b<ca < b < c koşulunu sağlayan kaç farklı abcabc sayısı vardır?

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. 8Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Toplam 8 farklı abc sayısı yazılabilir.
Verilen eşitlik basamaklarına ayrıldığında 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 bulunur, buradan a+b+c=15a+b+c=15 elde edilir. a<b<ca<b<c koşulu altında rakamlar sıfırdan farklı olduğu için sistemli değer verme yöntemiyle;
a=1a=1 için: (1,5,9),(1,6,8)(1,5,9), (1,6,8) →\rightarrow 2 durum
a=2a=2 için: (2,4,9),(2,5,8),(2,6,7)(2,4,9), (2,5,8), (2,6,7) →\rightarrow 3 durum
a=3a=3 için: (3,4,8),(3,5,7)(3,4,8), (3,5,7) →\rightarrow 2 durum
a=4a=4 için: (4,5,6)(4,5,6) →\rightarrow 1 durum
olmak üzere toplam 8 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümle
abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c, bca=100b+10c+abca = 100b + 10c + a, cab=100c+10a+bcab = 100c + 10a + b
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için gereklidir.
2
Çözümlenen ifadeleri topla ve sadeleştir
(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)(100a+10b+c) + (100b+10c+a) + (100c+10a+b) = 111a + 111b + 111c = 111(a+b+c)
Denklemi en sade hale getirerek a, b ve c toplamını bulmak için gereklidir.
3
Denklemden rakamların toplamını bul
111(a+b+c)=1665⇒a+b+c=15111(a+b+c) = 1665 \Rightarrow a+b+c = 15
Hangi rakam kombinasyonlarını arayacağımızı belirlemek için gereklidir.
4
a < b < c koşuluna ve toplamın 15 olmasına göre olası üçlüleri belirle
a=1 için (1,5,9), (1,6,8); a=2 için (2,4,9), (2,5,8), (2,6,7); a=3 için (3,4,8), (3,5,7); a=4 için (4,5,6)
Sıralama koşulunu sağlayan tüm geçerli durumları sistematik olarak listelemek için gereklidir.
5
Bulunan durum sayısını topla
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı durum vardır.
Soruda istenen toplam sayı adedine ulaşmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Problemleri

Hints

1
Sayıları çözümleyerek abc=100a+10b+cabc = 100a + 10b + c şeklinde yazıp toplayın. Ortak çarpan parantezine almaya çalışın.
2
İfadeyi 111(a+b+c)=1665111(a+b+c) = 1665 haline getirebilirsiniz. Buradan a+b+ca+b+c toplamını bulun.
3
a+b+c=15a+b+c=15 ve a<b<ca<b<c şartını sağlayan üçlüleri bulmak için aa'ya en küçük değerden (1'den) başlayarak değer verin.

Practice More

Benzer bir mantıkla abc−cba=495abc - cba = 495 koşulunu sağlayan kaç sayı olduğunu araştırınız.

Alternative Method

Toplamı 15 olan 3 farklı rakamın tüm kombinasyonlarını düşünüp, her kombinasyon için sadece 1 tane sıralı (a<b<c) durumun geçerli olduğunu fark edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic