Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

A,BA, B ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, üç basamaklı ABCABC, BCABCA ve CABCAB doğal sayıları için

ABC+BCA+CAB37 \frac{ABC + BCA + CAB}{37}

ifadesi bir tam sayının karesine eşittir. Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    48
  3. C
    54
  4. 60Answer
  5. E
    64

Answer

Rakamlar çarpımının alabileceği en büyük değer 60'tır.
İşlem yapıldığında ifadenin 3(A+B+C)3(A+B+C) olduğu görülür. Bu sonucun tam kare olması için rakamlar toplamının 1212 olması gerekir. Toplamı 1212 olan, birbirinden farklı ve çarpımı en büyük üç rakam 3,4,53, 4, 5'tir. Çarpımları 6060 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümle ve topla.
ABC+BCA+CAB=(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)ABC + BCA + CAB = (100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)
Basamak analizi problemlerinde sayıların rakam değerlerine göre çözümlenmesi temel adımdır.
2
Elde edilen toplamı denklemde yerine koy ve sadeleştir.
111(A+B+C)37=3(A+B+C)\frac{111(A+B+C)}{37} = 3(A+B+C)
111 sayısı 37'ye bölündüğünde 3 sonucunu verir.
3
İfadenin bir tam kare olması koşulunu incele.
3(A+B+C)=k23(A+B+C) = k^2 ise (A+B+C)=3⋅m2(A+B+C) = 3 \cdot m^2 olmalıdır. Olası A+B+CA+B+C değerleri: 3,12,27,…3, 12, 27, \dots
Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
4
Rakamların toplamı için sınırları ve geçerli değeri belirle.
En küçük toplam 1+2+3=61+2+3=6, en büyük 9+8+7=249+8+7=24. Bu aralıkta A+B+C=12A+B+C=12 tek çözümdür.
Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğu için toplam belli bir aralıkta olmalıdır.
5
Toplamı 12 olan farklı rakamlar için çarpımı maksimize et.
Sayilar birbirine en yakın seçilmelidir: {3,4,5}\{3, 4, 5\}. Çarpım: 3×4×5=603 \times 4 \times 5 = 60.
Toplamı sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve sayıların tam kare olma özellikleri.

Hints

1
Sayıları 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek toplayın.
2
Toplam 111(A+B+C)111(A+B+C) olacaktır. Bunu 37'ye böldüğünüzde kalan ifade 3(A+B+C)3(A+B+C) olur.
3
3(A+B+C)3(A+B+C) ifadesinin tam kare olması için A+B+CA+B+C kaç olmalıdır? Rakamların farklı ve sıfırdan büyük olduğunu unutmayın.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: Rakamlar toplamı en az 6, en çok 24 olabilir. Bu aralıkta 3 ile çarpılınca tam kare veren tek sayı 12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic