Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC+BCA+CAB=2442ABC + BCA + CAB = 2442

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısı arasındaki fark kaçtır?
  1. A
    198
  2. B
    297
  3. 396Answer
  4. D
    495
  5. E
    594

Answer

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 396'dır.
İfade çözümlendiğinde rakamlar toplamının 22 olduğu görülür. Toplamı 22 eden, rakamları farklı kümeler {9,8,5} ve {9,7,6} dır. En büyük sayı bu kümelerden elde edilebilecek en büyük dizilim olan 985, en küçük sayı ise en küçük yüzler basamağına sahip 589'dur. Fark 396 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi basamak analizi yöntemini kullanarak çözümle.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=2442(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 2442 111(A+B+C)=2442111(A + B + C) = 2442
Her bir sayıyı 10'un kuvvetleri cinsinden yazarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Rakamların toplamını bul.
A+B+C=2442111=22A + B + C = \frac{2442}{111} = 22
Üç bilinmeyenin toplamına ulaşmak çözüm kümesini daraltır.
3
Toplamı 22 olan, birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakam gruplarını belirle.
Olası kümeler: {9, 8, 5} ve {9, 7, 6}. (Not: {9,9,4} gibi kümeler rakamları farklı şartına uymaz).
En büyük ve en küçük sayıyı oluşturmak için kullanılacak rakamları tespit etmek gerekir.
4
Bu kümeleri kullanarak yazılabilecek en büyük (Max) ve en küçük (Min) ABC sayılarını bul.
En büyük sayı için yüzler basamağı (A) maksimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 985985 ve {9, 7, 6} kümesinden 976976 yazılabilir. En büyük ABC=985ABC = 985. En küçük sayı için A minimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 589589 ve {9, 7, 6} kümesinden 679679 yazılabilir. En küçük ABC=589ABC = 589.
Farklı kümeler farklı ekstrem değerler verebilir, tüm olasılıklar karşılaştırılmalıdır.
5
Bulunan değerler arasındaki farkı hesapla.
985−589=396985 - 589 = 396
Sonuç adımı.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Optimizasyonu

Hints

1
İfadeyi 111(A+B+C)111(A+B+C) şeklinde paranteze alarak sadeleştirin.
2
Rakamlar toplamı 22 olan üç farklı rakamdan oluşan tüm grupları (kümeleri) listeleyin.
3
Sadece {9, 7, 6} değil, {9, 8, 5} kümesini de kontrol etmeyi unutmayın. En küçük sayı için yüzler basamağı en az olan kümeyi seçmelisiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic