Examkin

Basamak Analizi ve Çözümleme

38 questions

Question 1Question →

A,BA, B ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, üç basamaklı ABCABC, BCABCA ve CABCAB doğal sayıları için

ABC+BCA+CAB37 \frac{ABC + BCA + CAB}{37}

ifadesi bir tam sayının karesine eşittir. Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Rakamlar çarpımının alabileceği en büyük değer 60'tır.
İşlem yapıldığında ifadenin 3(A+B+C)3(A+B+C) olduğu görülür. Bu sonucun tam kare olması için rakamlar toplamının 1212 olması gerekir. Toplamı 1212 olan, birbirinden farklı ve çarpımı en büyük üç rakam 3,4,53, 4, 5'tir. Çarpımları 6060 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümle ve topla.
ABC+BCA+CAB=(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)ABC + BCA + CAB = (100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)
Basamak analizi problemlerinde sayıların rakam değerlerine göre çözümlenmesi temel adımdır.
2
Elde edilen toplamı denklemde yerine koy ve sadeleştir.
111(A+B+C)37=3(A+B+C)\frac{111(A+B+C)}{37} = 3(A+B+C)
111 sayısı 37'ye bölündüğünde 3 sonucunu verir.
3
İfadenin bir tam kare olması koşulunu incele.
3(A+B+C)=k23(A+B+C) = k^2 ise (A+B+C)=3⋅m2(A+B+C) = 3 \cdot m^2 olmalıdır. Olası A+B+CA+B+C değerleri: 3,12,27,…3, 12, 27, \dots
Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
4
Rakamların toplamı için sınırları ve geçerli değeri belirle.
En küçük toplam 1+2+3=61+2+3=6, en büyük 9+8+7=249+8+7=24. Bu aralıkta A+B+C=12A+B+C=12 tek çözümdür.
Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğu için toplam belli bir aralıkta olmalıdır.
5
Toplamı 12 olan farklı rakamlar için çarpımı maksimize et.
Sayilar birbirine en yakın seçilmelidir: {3,4,5}\{3, 4, 5\}. Çarpım: 3×4×5=603 \times 4 \times 5 = 60.
Toplamı sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve sayıların tam kare olma özellikleri.

Hints

1
Sayıları 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek toplayın.
2
Toplam 111(A+B+C)111(A+B+C) olacaktır. Bunu 37'ye böldüğünüzde kalan ifade 3(A+B+C)3(A+B+C) olur.
3
3(A+B+C)3(A+B+C) ifadesinin tam kare olması için A+B+CA+B+C kaç olmalıdır? Rakamların farklı ve sıfırdan büyük olduğunu unutmayın.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: Rakamlar toplamı en az 6, en çok 24 olabilir. Bu aralıkta 3 ile çarpılınca tam kare veren tek sayı 12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Question 2Question →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı BCBC doğal sayısının toplamı 546'dır. Buna göre, A+B+CA+B+C toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Rakamlar toplamının alabileceği en büyük değer 14'tür.
Verilen ifade çözümlenip sadeleştirildiğinde 50A+10B+C=27350A + 10B + C = 273 denklemi elde edilir. Bu denklemde AA için 4 ve 5 değerleri verilebilir. A=4A=4 verildiğinde 10B+C=7310B+C=73 olur ki buradan B=7,C=3B=7, C=3 gelir ve toplam 14 olur. A=5A=5 verildiğinde ise toplam 10 olur. En büyük değer 14 olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BC=10B+CBC = 10B + C şeklinde yazılır.
Sayı basamakları arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için çözümleme yöntemi kullanılır.
2
Verilen toplamı denklem haline getirelim ve sadeleştirelim.
(100A+10B+C)+(10B+C)=546⇒100A+20B+2C=546(100A + 10B + C) + (10B + C) = 546 \Rightarrow 100A + 20B + 2C = 546. Her iki tarafı 2'ye bölersek 50A+10B+C=27350A + 10B + C = 273 elde edilir.
Denklemi en sade formuna getirerek rakam değerlerini daha kolay belirlemek için.
3
AA rakamı için olası değerleri analiz edelim.
10B+C10B+C ifadesi en fazla 99 olabilir (B=9,C=9B=9, C=9). Bu durumda 50A50A en az 273−99=174273 - 99 = 174 olmalıdır (A≥4A \geq 4). Ayrıca 50A<27350A < 273 olacağı için A≤5A \leq 5 olmalıdır.
AA rakamının sınırlarını belirleyerek çözüm kümesini daraltmak için.
4
A=4A=4 ve A=5A=5 durumlarını inceleyerek rakamlar toplamını bulalım.
Durum 1: A=4⇒200+10B+C=273⇒10B+C=73⇒B=7,C=3A=4 \Rightarrow 200 + 10B + C = 273 \Rightarrow 10B + C = 73 \Rightarrow B=7, C=3. Toplam: 4+7+3=144+7+3=14. Durum 2: A=5⇒250+10B+C=273⇒10B+C=23⇒B=2,C=3A=5 \Rightarrow 250 + 10B + C = 273 \Rightarrow 10B + C = 23 \Rightarrow B=2, C=3. Toplam: 5+2+3=105+2+3=10.
Tüm olası rakam kombinasyonlarını değerlendirip istenen en büyük değeri seçmek için.

Key Concept

Sayı Basamakları ve Çözümleme

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C olarak açmayı deneyin.
2
Elde ettiğiniz 100A+20B+2C=546100A + 20B + 2C = 546 denklemini sadeleştirerek AA için sınırları belirleyin.
3
A=4A=4 olduğunda BB ve CC değerlerinin ne olacağını hesaplayın ve diğer ihtimalle karşılaştırın.

Practice More

İki basamaklı sayıların yer değiştirmesiyle oluşan fark sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayılardır.

ABC+BCA+CAB=2442ABC + BCA + CAB = 2442

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısı arasındaki fark kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 396

Answer

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 396'dır.
İfade çözümlendiğinde rakamlar toplamının 22 olduğu görülür. Toplamı 22 eden, rakamları farklı kümeler {9,8,5} ve {9,7,6} dır. En büyük sayı bu kümelerden elde edilebilecek en büyük dizilim olan 985, en küçük sayı ise en küçük yüzler basamağına sahip 589'dur. Fark 396 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi basamak analizi yöntemini kullanarak çözümle.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=2442(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 2442 111(A+B+C)=2442111(A + B + C) = 2442
Her bir sayıyı 10'un kuvvetleri cinsinden yazarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Rakamların toplamını bul.
A+B+C=2442111=22A + B + C = \frac{2442}{111} = 22
Üç bilinmeyenin toplamına ulaşmak çözüm kümesini daraltır.
3
Toplamı 22 olan, birbirinden farklı ve sıfırdan farklı rakam gruplarını belirle.
Olası kümeler: {9, 8, 5} ve {9, 7, 6}. (Not: {9,9,4} gibi kümeler rakamları farklı şartına uymaz).
En büyük ve en küçük sayıyı oluşturmak için kullanılacak rakamları tespit etmek gerekir.
4
Bu kümeleri kullanarak yazılabilecek en büyük (Max) ve en küçük (Min) ABC sayılarını bul.
En büyük sayı için yüzler basamağı (A) maksimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 985985 ve {9, 7, 6} kümesinden 976976 yazılabilir. En büyük ABC=985ABC = 985. En küçük sayı için A minimize edilmeli: {9, 8, 5} kümesinden 589589 ve {9, 7, 6} kümesinden 679679 yazılabilir. En küçük ABC=589ABC = 589.
Farklı kümeler farklı ekstrem değerler verebilir, tüm olasılıklar karşılaştırılmalıdır.
5
Bulunan değerler arasındaki farkı hesapla.
985−589=396985 - 589 = 396
Sonuç adımı.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Kümeleri Optimizasyonu

Hints

1
İfadeyi 111(A+B+C)111(A+B+C) şeklinde paranteze alarak sadeleştirin.
2
Rakamlar toplamı 22 olan üç farklı rakamdan oluşan tüm grupları (kümeleri) listeleyin.
3
Sadece {9, 7, 6} değil, {9, 8, 5} kümesini de kontrol etmeyi unutmayın. En küçük sayı için yüzler basamağı en az olan kümeyi seçmelisiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve A>B>CA > B > C olmak üzere;
ABCABC üç basamaklı, XYXY iki basamaklı doğal sayıları için,
ABC−(A+B+C)9=XY \frac{ABC - (A + B + C)}{9} = XY
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı vardır?
Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Koşulu sağlayan 56 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 11A+B=XY11A + B = XY elde edilir. XYXY iki basamaklı olduğundan sonuç 100'den küçük olmalıdır. A>B>C>0A > B > C > 0 şartıyla:
A=3A=3 için 1 durum,
A=4A=4 için 3 durum,
A=5A=5 için 6 durum,
A=6A=6 için 10 durum,
A=7A=7 için 15 durum,
A=8A=8 için 21 durum oluşur.
A=9A=9 için 11(9)+B>9911(9)+B > 99 olduğundan çözüm yoktur.
Toplam: 1+3+6+10+15+21=561+3+6+10+15+21 = 56 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte basamak çözümlemesi yap.
(100A+10B+C)−(A+B+C)9=10X+Y  ⟹  99A+9B9=XY\frac{(100A + 10B + C) - (A + B + C)}{9} = 10X + Y \implies \frac{99A + 9B}{9} = XY
Sayıları basamak değerlerine ayırarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Sadeleşmiş denklemden XY sayısını A ve B cinsinden ifade et.
11A+B=XY11A + B = XY. Burada XYXY iki basamaklı bir sayı olduğundan 11A+B≤9911A + B \le 99 olmalıdır.
XY'nin iki basamaklı olma şartı, A ve B değerleri üzerinde bir üst sınır oluşturur.
3
A > B > C > 0 şartına uygun A değerleri için kaç farklı (A,B,C) üçlüsü olduğunu hesapla.
A en az 3 olabilir (3>2>1). Her A değeri için olası B ve C sayılarını analiz edelim.
A'nın alabileceği değerlere göre B ve C'nin kombinasyonlarını sistemli bir şekilde saymak gerekir.
4
Her A değeri için durum sayılarını topla.
Toplam = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56
Üçgensel sayı örüntüsü ile her basamak için geçerli sayı adedini bulup topluyoruz.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayma Kuralları

Hints

1
Eşitliğin sol tarafındaki ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (Örn: 100A+10B+C100A+10B+C). Sadeleşme sonrası XYXY sayısını AA ve BB cinsinden bulmaya odaklanın.
2
Denklem 11A+B=XY11A + B = XY haline gelir. XYXY iki basamaklı bir sayı olduğu için 11A+B<10011A + B < 100 olmalıdır. Bu şartı ve A>B>C>0A > B > C > 0 eşitsizliğini sağlayan AA değerlerini deneyin.
3
AA rakamı 3'ten başlayıp en fazla 8 olabilir. A=9A=9 olduğunda 11×9+B11 \times 9 + B değeri 100'ü geçer. Her bir AA değeri için kaç farklı (B,C)(B, C) ikilisi yazılabileceğini tek tek sayıp toplayın.
Estimated Time:4m 0s
Question 5Question →
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve AB,BC,CAAB, BC, CA iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
ABC=2⋅(AB+BC+CA)ABC = 2 \cdot (AB + BC + CA)
eşitliğini sağlayan kaç farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı vardır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Şartları sağlayan 3 farklı sayı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C bağıntısı elde edilir. Bu eşitliği sağlayan (A,B,C)(A,B,C) üçlüleri (1,3,2)(1,3,2), (2,6,4)(2,6,4) ve (3,9,6)(3,9,6) olmak üzere toplam 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikteki sayıları çözümleyerek basamak değerlerine göre yazalım.
100A+10B+C=2⋅[(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)]100A + 10B + C = 2 \cdot [(10A + B) + (10B + C) + (10C + A)]
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için.
2
Parantez içindeki ifadeleri toplayıp denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=2⋅(11A+11B+11C)⇒100A+10B+C=22A+22B+22C100A + 10B + C = 2 \cdot (11A + 11B + 11C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 22A + 22B + 22C
Denklemi sadeleştirmek için.
3
Aynı türden terimleri bir araya getirip en sade hali elde edelim.
78A−12B−21C=078A - 12B - 21C = 0. Her tarafı 3'e bölelim: 26A=4B+7C26A = 4B + 7C.
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi daha net görmek için.
4
A'nın alabileceği değerleri sınırlandıralım. B ve C en fazla 9 olabilir.
4B+7C4B + 7C ifadesinin maksimum değeri 4(9)+7(9)=36+63=994(9) + 7(9) = 36 + 63 = 99 olur. Bu durumda 26A≤9926A \le 99 olduğundan AA rakamı sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Deneme yanılma kümesini daraltmak için.
5
A'nın olası değerleri (1, 2, 3) için denklemi sağlayan B ve C rakamlarını bulalım.
Durum 1 (A=1A=1): 26=4B+7C26 = 4B + 7C. C=2C=2 ise 26=4B+14⇒12=4B⇒B=326 = 4B + 14 \Rightarrow 12 = 4B \Rightarrow B=3. Sayı: 132.
Durum 2 (A=2A=2): 52=4B+7C52 = 4B + 7C. C=4C=4 ise 52=4B+28⇒24=4B⇒B=652 = 4B + 28 \Rightarrow 24 = 4B \Rightarrow B=6. Sayı: 264.
Durum 3 (A=3A=3): 78=4B+7C78 = 4B + 7C. C=6C=6 ise 78=4B+42⇒36=4B⇒B=978 = 4B + 42 \Rightarrow 36 = 4B \Rightarrow B=9. Sayı: 396.
Her bir durum için geçerli çözüm olup olmadığını kontrol etmek için.

Key Concept

Sayıların çözümlenmesi ve katsayılı Diophantine (tam sayı) denklemlerinin analizi.

Hints

1
Eşitliğin her iki tarafındaki sayıları çözümleyerek (100A+10B+C100A+10B+C gibi) yazın.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
BB ve CC rakamlarının en fazla 9 olabileceğini düşünerek AA'nın alabileceği maksimum değeri belirleyin.

Alternative Method

Bulduğunuz ilk sayı 132'dir. Diğer sayıların bunun katları olup olmadığını (örneğin 132×2132 \times 2, 132×3132 \times 3) kontrol ederek hızlıca bulabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 6Question →

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 3AB3AB doğal sayısı, iki basamaklı BABA doğal sayısının 14 katından 2 fazladır.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

A + B = 7
Verilen 3AB=14(BA)+23AB = 14(BA) + 2 eşitliği basamaklarına ayrıldığında 300+10A+B=140B+14A+2300 + 10A + B = 140B + 14A + 2 elde edilir. Bu denklem düzenlenirse 298=4A+139B298 = 4A + 139B bulunur. BB bir rakam olduğu için 139139 katsayısı ile deneme yapılır. B=2B=2 seçildiğinde 139×2=278139 \times 2 = 278 olur ve geriye kalan 2020 sayısı 4A4A'ya eşitlenerek A=5A=5 bulunur. Rakamları birbirinden farklı şartı (3,5,23, 5, 2) sağlandığı için toplam 5+2=75+2=7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi matematiksel eşitliğe dökün.
3AB=14⋅(BA)+23AB = 14 \cdot (BA) + 2
Soruda verilen 'katı' ve 'fazlası' ifadeleri matematiksel denkleme çevrilir.
2
Sayıları basamak değerlerine ayırarak (çözümleyerek) yazın.
300+10A+B=14(10B+A)+2300 + 10A + B = 14(10B + A) + 2
3AB3AB sayısı 300+10A+B300 + 10A + B ve BABA sayısı 10B+A10B + A şeklinde ifade edilir.
3
Parantezi dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirin.
300+10A+B=140B+14A+2  ⟹  298=4A+139B300 + 10A + B = 140B + 14A + 2 \implies 298 = 4A + 139B
Denklem sadeleştirilerek AA ve BB rakamlarını bulmaya uygun hale getirilir.
4
BB için olası rakam değerlerini deneyerek AA'yı bulun.
B=2B=2 için 4A=298−278=20  ⟹  A=54A = 298 - 278 = 20 \implies A=5
B=1B=1 için 4A=1594A=159 (tam sayı değil), B≥3B \ge 3 için sonuç negatif çıkar. Tek çözüm A=5,B=2A=5, B=2 dir.
5
Rakamları toplayın.
A+B=5+2=7A + B = 5 + 2 = 7
Soruda istenen sonuç hesaplanır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Denklem Çözme

Hints

1
3AB3AB sayısı 300+10A+B300 + 10A + B şeklinde, BABA sayısı ise 10B+A10B + A şeklinde çözümlenir.
2
Denklemi kurup sadeleştirdiğinizde 298=4A+139B298 = 4A + 139B eşitliğine ulaşmalısınız.
3
139B139B ifadesinin 298'e yaklaşması için BB sadece 1 veya 2 olabilir. Bu değerleri deneyerek AA'nın tam sayı çıkıp çıkmadığına bakın.
Estimated Time:2m 30s
Question 7Question →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı 1212'dir. Bu sayının yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde oluşan sayı, ilk sayıdan 198198 eksiktir. Buna göre, A>B>CA > B > C koşulunu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Şartları sağlayan sadece 11 adet ABCABC doğal sayısı (543) bulunmaktadır.
Verilen bilgilere göre ABC−CBA=198ABC - CBA = 198 denklemi A−C=2A - C = 2 sonucunu verir. Rakamlar toplamı A+B+C=12A + B + C = 12 olduğundan, AA yerine C+2C + 2 yazıldığında 2C+B=102C + B = 10 ilişkisi bulunur. Bu ilişkiyi sağlayan rakam grupları test edildiğinde (381,462,543,624,705381, 462, 543, 624, 705), sadece 543543 sayısının 5>4>35 > 4 > 3 (A>B>CA > B > C) şartını sağladığı görülür.

Step-by-Step Solution

1
Basamak analizi yapılarak fark denklemini kurun.
99(A−C)=198⇒A−C=299(A - C) = 198 \Rightarrow A - C = 2
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99A−99CABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99A - 99C ifadesi 198198'e eşittir.
2
Rakamlar toplamı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem oluşturun.
2C+B=102C + B = 10
A+B+C=12A + B + C = 12 denkleminde AA yerine C+2C + 2 yazıldığında (C+2)+B+C=12(C + 2) + B + C = 12 elde edilir.
3
Denklemleri sağlayan rakam ikililerini ve A>B>CA > B > C şartını kontrol edin.
Sadece (5,4,3)(5, 4, 3) üçlüsü şartı sağlar.
C=1→A=3,B=8C=1 \rightarrow A=3, B=8 (Hayır); C=2→A=4,B=6C=2 \rightarrow A=4, B=6 (Hayır); C=3→A=5,B=4C=3 \rightarrow A=5, B=4 (Evet); C=4→A=6,B=2C=4 \rightarrow A=6, B=2 (Hayır); C=5→A=7,B=0C=5 \rightarrow A=7, B=0 (Hayır).

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme

Hints

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamaklarına ayırarak aralarındaki farkı AA ve CC cinsinden ifade edin.
2
A−C=2A - C = 2 olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi rakamlar toplamı olan 1212 eşitliğinde yerine koyarak BB ile CC arasında bir bağıntı kurun.
3
2C+B=102C + B = 10 denklemini sağlayan her CC değeri için AA ve BB değerlerini bulun ve A>B>CA > B > C sıralamasını kontrol edin.

Practice More

Benzer bir soruyu, sayının 198198 artması ve rakamların çarpımının verilmesi durumu için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi kurduktan sonra CC rakamına değer vererek (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) hızlıca AA ve BB değerlerini bir tablo halinde yazıp şartı kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 8Question →
Rakamları birbirinden farklı AA, BB ve CC rakamlarıyla oluşturulan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için;
ABC=41⋅(A+C)+BABC = 41 \cdot (A + C) + B
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A⋅B−CA \cdot B - C ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Doğru cevap 15'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için A+B=10A+B=10 olmalıdır. Bu şartı sağlayan ve sonucu tam sayı yapan tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6'dır. İstenen A⋅B−CA \cdot B - C değeri ise 3⋅7−6=153 \cdot 7 - 6 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC doğal sayısını çözümleyin ve eşitlikte yerine yazın.
100A+10B+C=41A+41C+B100A + 10B + C = 41A + 41C + B
Basamak analizi sorularında sayıların çözümlenmiş hali (100A+10B+C) kullanılarak rakamlar arasındaki ilişki bulunur.
2
Eşitliği düzenleyerek benzer terimleri bir araya toplayın.
59A+9B=40C59A + 9B = 40C
Denklemi sadeleştirip katsayılar üzerinden yorum yapabilmek için.
3
59A+9B59A + 9B ifadesinin son basamağını inceleyerek AA ve BB için olası değerleri belirleyin.
Eşitliğin sağ tarafı (40C40C) 10'un katı olduğu için son basamağı 0'dır. Sol tarafın (59A+9B59A + 9B) da son basamağı 0 olmalıdır. Bu durum, 9(A+B)9(A+B) ifadesinin 10'un katı olmasını, dolayısıyla A+B=10A+B=10 olmasını gerektirir.
Katsayı analizi ve modüler aritmetik (birler basamağı kontrolü) deneme yanılma sürecini kısaltır.
4
A+B=10A+B=10 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A, B) ikililerini deneyerek CC'nin rakam olup olmadığını kontrol edin.
- A=1,B=9  ⟹  59(1)+9(9)=140A=1, B=9 \implies 59(1)+9(9)=140 (40'a bölünmez)
- A=2,B=8  ⟹  59(2)+9(8)=190A=2, B=8 \implies 59(2)+9(8)=190 (40'a bölünmez)
- A=3,B=7  ⟹  59(3)+9(7)=177+63=240A=3, B=7 \implies 59(3)+9(7)=177+63=240. 40C=240  ⟹  C=640C=240 \implies C=6. (Rakamlar farklı: 3, 7, 6. SAĞLAR)
- Diğer durumlar (A=4A=4 ve sonrası) 40'a bölünmez veya CC rakam olmaz.
Bulunan aday değerlerin tüm şartları (rakam olma, birbirinden farklı olma) sağladığını doğrulamak gerekir.
5
Bulunan A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6 değerlerini istenen işlemde yerine yazın.
A⋅B−C=3⋅7−6=21−6=15A \cdot B - C = 3 \cdot 7 - 6 = 21 - 6 = 15
Sorunun nihai cevabını hesaplamak için.

Key Concept

Sayı çözümleme ve katsayı analizi ile doğrusal Diophantine denklem çözümü.

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucu 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edeceksiniz. Eşitliğin sağ tarafı 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır.
3
9(A+B)9(A+B) ifadesinin sonunun 0 olması için A+B=10A+B=10 olmalıdır. AA yerine 1, 2, 3... değerlerini deneyerek CC'nin bir rakam olup olmadığını kontrol edin.

Practice More

Benzer bir mantıkla ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki soruları çözerek basamak analizi pratiği yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →

Sıfırdan farklı AA, BB ve CC rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı ABCABC, BCABCA ve CABCAB doğal sayıları için;

A<B<CA < B < C
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665

koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Koşulları sağlayan 8 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen toplama işlemi çözümlendiğinde 111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 elde edilir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C koşulunu sağlayan rakam üçlüleri sistemli olarak sayıldığında; A=1 için 2, A=2 için 3, A=3 için 2 ve A=4 için 1 durum olmak üzere toplamda 8 farklı değer elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları çözümleyerek toplama işlemini basitleştir.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A + 10B + C) + (100B + 10C + A) + (100C + 10A + B) = 111(A + B + C)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasında doğrusal bir ilişki kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi verilen toplama eşitle ve A+B+CA+B+C değerini bul.
111(A+B+C)=1665⇒A+B+C=15111(A + B + C) = 1665 \Rightarrow A + B + C = 15
Denklemi çözerek rakamların toplam kısıtını belirlemek çözüm kümesini daraltır.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve A+B+C=15A+B+C=15 eşitliğini sağlayan (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini sistemli bir şekilde listele.
Olası durumlar belirlenir.
Rakamlar kümesinde (11 ile 99 arası) deneme yoluyla uygun üçlüler bulunur.
4
Her bir AA değeri için olası BB ve CC değerlerini kontrol et.
Durumlar:
- A=1A=1 için B+C=14⇒(5,9),(6,8)B+C=14 \Rightarrow (5,9), (6,8) (2 adet)
- A=2A=2 için B+C=13⇒(4,9),(5,8),(6,7)B+C=13 \Rightarrow (4,9), (5,8), (6,7) (3 adet)
- A=3A=3 için B+C=12⇒(4,8),(5,7)B+C=12 \Rightarrow (4,8), (5,7) (2 adet)
- A=4A=4 için B+C=11⇒(5,6)B+C=11 \Rightarrow (5,6) (1 adet)
- A=5A=5 için B+C=10⇒B+C=10 \Rightarrow Uygun B,CB,C yok (B>5B>5 olmalı, en az 6+7=13 > 10)
AA değerini sabitleyip BB ve CC için olası toplamları incelemek hata yapmayı önler.
5
Bulunan tüm durum sayılarını topla.
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı sayı vardır.
Sonuç adımı.

Key Concept

Sayı Basamakları ve Çözümleme

Hints

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin (örneğin ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C). Tüm terimleri topladığınızda A,BA, B ve CC parantezinde ortak bir çarpan bulacaksınız.
2
Çözümleme sonucunda 111(A+B+C)=1665111(A + B + C) = 1665 denklemini elde etmelisiniz. Buradan A+B+CA+B+C toplamını bulun.
3
A+B+C=15A + B + C = 15 ve A<B<CA < B < C koşullarını sağlayan sayıları bulmak için AA değerini 1'den başlatarak deneyin. A=5A=5 olduğunda BB ve CC için uygun değer kalmadığını göreceksiniz.

Practice More

Rakamları toplamı sabit olan üç basamaklı sayıların kaç tanesinin rakamlarının artan sırada olduğunu soran benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek ilerlemek yerine, CC için üst sınırdan başlayarak geriye doğru saymak da mümkündür ancak AA en küçük olduğu için AA'dan başlamak işlem yükünü azaltır.
Estimated Time:2m 30s
Question 10Question →

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;

ABC=25⋅(A+B+C)ABC = 25 \cdot (A + B + C)

eşitliğini sağlayan ABCABC üç basamaklı doğal sayısı için A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 105

Answer

Rakamları çarpımı 105 olan 375 sayısıdır.
Verilen ABC=25(A+B+C)ABC = 25(A+B+C) eşitliği çözümlendiğinde 25A=5B+8C25A = 5B + 8C elde edilir. 5 ile bölünebilme kuralından C=5C=5 olmak zorundadır (sıfırdan farklı dediği için). Yerine yazıldığında 5A=B+85A = B+8 bulunur. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu sadece A=3,B=7A=3, B=7 durumunda sağlanır. Böylece sayı 375 ve rakamları çarpımı 105 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği basamak değerlerine göre çözümle:
100A+10B+C=25(A+B+C)100A + 10B + C = 25(A + B + C)
Üç basamaklı sayının çözümlenmiş hali yazılır.
2
Parantezi açıp benzer terimleri bir araya getir:
100A+10B+C=25A+25B+25C100A + 10B + C = 25A + 25B + 25C ⇒75A=15B+24C\Rightarrow 75A = 15B + 24C
Denklemi sadeleştirmek için A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Denklemin her iki tarafını 3 ile sadeleştir:
25A=5B+8C25A = 5B + 8C
Katsayıları küçülterek analizi kolaylaştırmak için.
4
Modüler aritmetik veya bölünebilme kurallarını kullanarak C değerini bul:
25A25A ve 5B5B 5'in katıdır, bu yüzden 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C bir rakam ve C≠0C \neq 0 (sıfırdan farklı) olduğu için C=5C = 5 olmalıdır.
Bir toplamda terimlerin çoğu 5'e bölünüyorsa, kalan terim de 5'e bölünmelidir.
5
C = 5 değerini yerine yazıp A ve B'yi bul:
25A=5B+8(5)⇒25A=5B+40⇒5A=B+825A = 5B + 8(5) \Rightarrow 25A = 5B + 40 \Rightarrow 5A = B + 8. B bir rakam olduğundan (B≤9B \le 9), 5A≤175A \le 17 olur. A=1, 2 veya 3 olabilir. A=1⇒B=−3A=1 \Rightarrow B=-3 (olmaz). A=2⇒B=2A=2 \Rightarrow B=2 (olmaz, A ve B farklı olmalı). A=3⇒B=7A=3 \Rightarrow B=7 (olur).
Elde edilen basit eşitlikte rakam olma ve birbirinden farklı olma koşulları denenir.
6
Sonuçları çarp:
A=3,B=7,C=5A=3, B=7, C=5 olduğundan 3⋅7⋅5=1053 \cdot 7 \cdot 5 = 105.
İstenen değer rakamların çarpımıdır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde açarak eşitliği düzenleyin.
2
Elde ettiğiniz 75A=15B+24C75A = 15B + 24C denklemini sadeleştirin ve 5 ile bölünebilme kuralını düşünün.
3
25A=5B+8C25A = 5B + 8C eşitliğinde, 25A25A ve 5B5B 5'in katıdır. Eşitliğin sağlanması için 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C rakam olduğu için C kaç olabilir?

Practice More

Benzer mantıkla ABC=11(A+B+C)ABC = 11(A+B+C) şartını sağlayan sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

ABC sayısı 25'in katı olmalıdır. Sonu 25, 50, 75 ile biten (00 olamaz çünkü C sıfırdan farklı) üç basamaklı sayılar üzerinden deneme-yanılma yapılabilir. Örneğin 375 için: 3+7+5=15 ve 15x25=375 sağlar.
Estimated Time:2m 30s
Question 11Question →
ABCABC üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
ABC−(A+B+C)=KL4 ABC - (A + B + C) = KL4
eşitliği veriliyor. KL4KL4 üç basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

En büyük ABC sayısının rakamları toplamı 25'tir.
Verilen ABC−(A+B+C)=KL4ABC - (A+B+C) = KL4 eşitliği çözümlendiğinde 99A+9B=KL499A + 9B = KL4 elde edilir. Bu eşitlik C'den bağımsızdır. Eşitliğin sol tarafı 9 parantezine alındığında 9(11A+B)9(11A+B) olur, yani sonuç 9'un katıdır. Sonu 4 ile biten ve 9'un katı olan bir sayı elde etmek için (11A+B)(11A+B) ifadesinin birler basamağı 6 olmalıdır. ABC'nin en büyük olması için A=9 seçilirse, 11(9)+B11(9)+B ifadesinin sonunun 6 olması için B=7 olmalıdır. C değeri denklemi etkilemediğinden, sayıyı maksimize etmek için C=9 seçilir. Böylece ABC=979ABC=979 olur ve rakamları toplamı 9+7+9=259+7+9=25 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikteki ABC sayısını basamak değerlerine göre çözümle.
(100A+10B+C)−(A+B+C)=KL4(100A + 10B + C) - (A + B + C) = KL4
Sayı çözümleme (basamak analizi) yöntemi ile harfli ifadeleri katsayılarına ayırmak gerekir.
2
İfadeyi sadeleştir ve ortak çarpan parantezine al.
99A+9B=KL4  ⟹  9(11A+B)=KL499A + 9B = KL4 \implies 9(11A + B) = KL4
C terimleri birbirini götürür (C - C = 0). Sonuç 9'un katı olmalıdır.
3
Birler basamağı analizi yaparak A ve B arasındaki ilişkiyi bul.
9×(11A+B)9 \times (11A + B) işleminin sonucu 4 ile bitmelidir. 9 ile çarpıldığında sonu 4 olan sayı 6'dır (9x6=54). Yani (11A+B)(11A + B) sayısının birler basamağı 6 olmalıdır.
Birler basamağı analizi, olası A ve B değerlerini kısıtlamak için kullanılır.
4
ABC sayısını en büyük yapacak A, B ve C değerlerini belirle.
En büyük sayı için A=9 seçilir. 11(9)+B=99+B11(9) + B = 99 + B ifadesinin sonunun 6 olması için 9+B9+B sonu 6 olmalı, buradan B=7B=7 bulunur. Denklem C'ye bağlı olmadığı için, sayıyı büyütmek adına C=9 seçilir. Sayı: 979.
Maksimum değer istendiği için en büyük basamaktan (yüzler) başlayarak değerler seçilir. C bağımsız değişken olduğu için en büyük rakam seçilebilir.
5
Bulunan rakamların toplamını hesapla.
A+B+C=9+7+9=25A+B+C = 9 + 7 + 9 = 25
Sonuç adımı.

Key Concept

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

Hints

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen çıkarma işlemini yapın.
2
Çıkarma işleminden sonra C'lerin birbirini götürdüğünü göreceksiniz. Kalan ifade 99A+9B99A + 9B olacaktır. Bu ifadenin sonucunun sonu 4 olan bir sayı olması gerekir.
3
9(11A+B)9(11A + B) çarpımının son basamağının 4 olması için (11A+B)(11A + B)'nin son basamağı 6 olmalıdır. A'yı en büyük seçip (9), B'yi buna göre bulun. C denklemde olmadığı için en büyük rakamı verin.

Practice More

Benzer mantıkla ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) farkının alabileceği en küçük değerin sorulduğu bir problem çözülebilir.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: 99A+9B≡−A−B≡4(mod10)99A + 9B \equiv -A - B \equiv 4 \pmod{10} veya doğrudan değer vererek deneme yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →
abab ve baba iki basamaklı doğal sayılardır. ab−ba=54ab - ba = 54 olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Verilen iki basamaklı sayıların farkı alındığında a−ba - b farkı 66 olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenek, basamak analizi kurallarına göre abab sayısını 10a+b10a + b ve baba sayısını 10b+a10b + a şeklinde çözümledikten sonra farklarını alıp 9(a−b)=549(a - b) = 54 denklemini doğru çözen seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
abab ve baba sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyin.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a
İki basamaklı sayıların içindeki rakamların değerini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş hallerini verilen denklemde yerine koyun ve çıkarma işlemini yapın.
(10a+b)−(10b+a)=54⇒9a−9b=54(10a + b) - (10b + a) = 54 \Rightarrow 9a - 9b = 54
Eksi işareti parantez içindeki her iki terime de etki eder (10a−a10a - a ve b−10bb - 10b).
3
İfadeyi 99 ortak parantezine alarak her iki tarafı 99'a bölün.
9(a−b)=54⇒a−b=69(a - b) = 54 \Rightarrow a - b = 6
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünerek bilinmeyen fark yalnız bırakılır.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi (ab=10a+bab = 10a + b)

Hints

1
İki basamaklı bir sayıyı basamak değerlerine göre yazmaya 'çözümleme' denir. Örneğin; xy=10x+yxy = 10x + y şeklindedir.
2
Sorudaki abab ve baba sayılarını çözümleyerek yerlerine koyun: (10a+b)−(10b+a)=54(10a + b) - (10b + a) = 54.
3
Elde ettiğiniz ifadede benzer terimleri birbirinden çıkardığınızda 9a−9b=549a - 9b = 54 eşitliğine ulaşırsınız. Her iki tarafı 99'a bölmeyi deneyin.

Practice More

Üç basamaklı abcabc ve cbacba sayılarının farkı üzerine benzer bir soru çözerek basamak analizi mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pratik bir yol olarak, iki basamaklı iki sayının farkı her zaman 99'un katıdır (ab−ba=9(a−b)ab - ba = 9(a-b)). Bu bilgiyi kullanarak doğrudan 54/9=654 / 9 = 6 diyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 13Question →

Rakamları sıfırdan farklı, üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 2121 katına eşittir. Buna göre, A+B+CA+B+C toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Doğru cevap 18 değeridir.
Denklem 79A=11B+20C79A = 11B + 20C şeklinde sadeleştirilir. Rakam kısıtlamaları (1-9 arası) dikkate alındığında, bu eşitliği sağlayan tek çözüm kümesi A=3A=3, B=7B=7, C=8C=8 olarak bulunur. Bu rakamların toplamı 3+7+8=183+7+8=18 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=21⋅(A+B+C)ABC = 21 \cdot (A + B + C)
Soruda sayının, rakamları toplamının 21 katı olduğu belirtilmiştir.
2
ABCABC sayısını basamak değerlerine göre çözümleyin.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C
Üç basamaklı sayıyı çözümleyerek rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
79A=11B+20C79A = 11B + 20C
100A−21A=79A100A - 21A = 79A, 21B−10B=11B21B - 10B = 11B, 21C−C=20C21C - C = 20C.
4
AA, BB ve CC birer rakam olduğu için (0<A,B,C≤90 < A,B,C \le 9), AA için olası değerleri test edin.
Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri 11(9)+20(9)=27911(9) + 20(9) = 279 olduğundan, 79A≤27979A \le 279 olmalıdır. Bu durumda AA sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Rakamlar 9'dan büyük olamayacağı için A'nın alabileceği değerler sınırlıdır.
5
A=3A=3 değerini denklemde yerine koyarak BB ve CC'yi bulun.
79(3)=23779(3) = 237. 237=11B+20C237 = 11B + 20C. Bu eşitliği sağlayan tek rakam ikilisi B=7B=7 ve C=8C=8'dir (11⋅7+20⋅8=77+160=23711 \cdot 7 + 20 \cdot 8 = 77 + 160 = 237).
A=1A=1 ve A=2A=2 için tamsayı çözüm bulunamaz. A=3A=3 için çözüm ABC=378ABC = 378 sayısıdır.
6
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
A+B+C=3+7+8=18A+B+C = 3 + 7 + 8 = 18
Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği yazınız.
2
Eşitliği sadeleştirdiğinizde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C denklemini elde edeceksiniz. Burada AA'nın alabileceği maksimum değeri bulmaya çalışın.
3
BB ve CC en fazla 9 olabilir, bu nedenle 79A79A sayısı 279'dan büyük olamaz. A=3A=3 değerini deneyerek BB ve CC'yi bulun.

Alternative Method

Denklem 79A−11B=20C79A - 11B = 20C şeklinde yazılabilir. Sağ taraf 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır. 79A79A'nın birler basamağı ile 11B11B'nin birler basamağı aynı olmalıdır. A=3A=3 için 79⋅3=23779 \cdot 3 = 237 (sonu 7), B=7B=7 için 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77 (sonu 7). Farkları 237−77=160237-77=160, buradan C=8C=8 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 14Question →

Sıfırdan ve birbirinden farklı AA, BB ve CC rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

ABC−CBA=594ABC - CBA = 594
B2=A⋅CB^2 = A \cdot C

Buna göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Koşulları sağlayan ABC sayısının rakamları toplamı 14'tür.
Verilen ABC−CBA=594ABC - CBA = 594 eşitliği çözümlendiğinde A−C=6A - C = 6 bulunur. B2=A⋅CB^2 = A \cdot C şartını sağlayan tek rakam çifti A=8A=8 ve C=2C=2 olduğunda B=4B=4 olur. Rakamlar toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ilk eşitlikte basamak çözümlemesi yap.
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=594(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 594
Üç basamaklı sayıların değerini rakamları cinsinden ifade ederek denklemi sadeleştirmek için.
2
Sadeleşmiş denklemden A ve C arasındaki farkı bul.
A−C=59499=6A - C = \frac{594}{99} = 6
Rakamlar arasındaki ilişkiyi netleştirmek için.
3
Farkı 6 olan (A, C) rakam çiftlerini belirle (C sıfırdan farklı olduğu için 0 hariç tutulur).
Olası çiftler: (7,1),(8,2),(9,3)(7, 1), (8, 2), (9, 3)
A ve C birer rakam olduğu için sadece bu değerler farkı 6 şartını sağlar.
4
İkinci eşitlik olan B2=A⋅CB^2 = A \cdot C şartını sağlayan çifti kontrol et.
(7,1)→B2=7(7, 1) \rightarrow B^2 = 7 (tam sayı değil)
(8,2)→B2=16→B=4(8, 2) \rightarrow B^2 = 16 \rightarrow B = 4 (uygun)
(9,3)→B2=27(9, 3) \rightarrow B^2 = 27 (tam sayı değil)
B bir rakam olduğu için karesi tam kare olmalıdır.
5
Bulunan A, B, C değerlerini topla.
A=8,B=4,C=2  ⟹  8+4+2=14A=8, B=4, C=2 \implies 8 + 4 + 2 = 14
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Basamak analizi, sayıların çözümlenmesi ve rakamların özelliklerinin (geometrik ortalama) birlikte kullanılması.

Hints

1
Önce ABC−CBAABC - CBA ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (örneğin 100A+10B+C...100A+10B+C...). Sadeleştirme yapın.
2
A−CA - C farkını bulduktan sonra, bu farkı sağlayan rakam çiftlerini listeleyin.
3
Bulduğunuz (A,C)(A, C) çiftlerinden hangisinin çarpımı bir tam sayının (BB'nin) karesine eşittir?

Practice More

Benzer mantıkla ABC+CBAABC + CBA toplamının belirli bir kurala uyduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →

ABCABC üç basamaklı ve ABAB iki basamaklı birer doğal sayıdır.

ABC+AB+A=458ABC + AB + A = 458

olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen şartları sağlayan ABCABC sayısı 413'tür ve rakamları toplamı 8'dir.
Verilen denklem çözümlendiğinde 111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458 eşitliğine ulaşılır. Burada en büyük katsayıya sahip olan AA için deneme yapıldığında, 458'e en yakın ve geçmeyen değerin A=4A=4 (444444) olduğu görülür. Kalan 14 değerini sağlamak için 11B+C11B + C ifadesinde B=1B=1 alınmalıdır (zira B=0B=0 olsa C=14C=14 olur ki bu bir rakam değildir). Buradan B=1B=1 ve C=3C=3 bulunur. Rakamların toplamı 4+1+3=84+1+3=8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve AB=10A+BAB = 10A + B
Çok basamaklı sayılar arasındaki toplama işlemlerini tek bir değişkenli denkleme dönüştürmek için çözümleme yapılır.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazarak düzenleyin.
(100A+10B+C)+(10A+B)+A=458(100A + 10B + C) + (10A + B) + A = 458
111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458
Aynı türden basamakların (yüzler, onlar, birler) katsayılarını birleştirerek denklemi basitleştiririz.
3
AA rakamının değerini katsayı analizi ile belirleyin.
A=4A = 4
Eğer A=5A=5 olsaydı 111×5=555>458111 \times 5 = 555 > 458 olurdu. Eğer A=3A=3 olsaydı 111×3=333111 \times 3 = 333 olurdu ve kalan 458−333=125458 - 333 = 125 değeri 11B+C11B + C (maksimum 11×9+9=10811 \times 9 + 9 = 108) ile sağlanamazdı.
4
A=4A=4 değerini yerine koyarak BB ve CC rakamlarını bulun.
111×4+11B+C=458⇒444+11B+C=458111 \times 4 + 11B + C = 458 \Rightarrow 444 + 11B + C = 458
11B+C=14⇒B=1,C=311B + C = 14 \Rightarrow B = 1, C = 3
11B+C=1411B + C = 14 eşitliğinde B=1B=1 dışında bir rakam değeri (0 veya 2) verildiğinde CC rakam olma özelliğini kaybeder.
5
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
4+1+3=84 + 1 + 3 = 8
Soruda istenen nihai değer rakamların toplamıdır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Denklemi düzenledikten sonra 111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458 ifadesini elde edeceksiniz. Burada AA rakamının alabileceği tek bir değer vardır.
3
A=4A=4 için 11B+C=1411B + C = 14 olur. CC bir rakam olduğuna göre BB kaç olmalıdır?

Practice More

Benzer bir mantıkla AB+BA=132AB + BA = 132 ve A−B=2A - B = 2 şartlarını sağlayan ABAB sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 16Question →

AA, BB ve CC sıfırdan farklı, birbirinden farklı rakamlar ve A>B>CA > B > C olmak üzere; üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve CACA doğal sayıları arasında

ABC−CBA=AB+BC+CAABC - CBA = AB + BC + CA

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

Verilen şartları sağlayan ABCABC sayısı 765765 olup rakamları çarpımı 210210 olur.
Verilen denklemin çözümlenmiş hali 9(A−C)=A+B+C9(A-C) = A+B+C şeklindedir. Buradan 8A−10C=B8A - 10C = B bağıntısı elde edilir. A>B>CA > B > C şartını sağlayan tek rakam üçlüsü A=7A=7, B=6B=6 ve C=5C=5 olup çarpımları 210210 eder.

Step-by-Step Solution

1
Sayıların basamak çözümlemesinin yapılması
99(A−C)=11(A+B+C)99(A - C) = 11(A + B + C)
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99A−99CABC - CBA = (100A+10B+C) - (100C+10B+A) = 99A - 99C ve AB+BC+CA=(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)=11A+11B+11CAB+BC+CA = (10A+B) + (10B+C) + (10C+A) = 11A+11B+11C şeklindedir.
2
Eşitliğin sadeleştirilmesi ve düzenlenmesi
8A−10C=B8A - 10C = B
99(A−C)=11(A+B+C)99(A-C) = 11(A+B+C) ifadesi 11 ile sadeleşince 9A−9C=A+B+C9A - 9C = A+B+C olur, buradan BB yalnız bırakılır.
3
Rakam ve büyüklük şartlarına (A>B>CA > B > C) göre değerlerin denenmesi
A=7,B=6,C=5A=7, B=6, C=5
A−C=2A-C=2 için 16−2C=B16-2C=B denkleminde C=5C=5 yazıldığında B=6B=6 ve A=7A=7 bulunur. Bu durumda 7>6>57 > 6 > 5 şartı sağlanır.
4
İstenen çarpımın hesaplanması
7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210
Soruda rakamların çarpımı istenmiştir.

Key Concept

Basamak analizi sorularında çözümleme yapıldıktan sonra elde edilen denklemde rakamların kısıtları (sıfırdan farklı olma, birbirinden farklı olma, büyüklük sıralaması) mutlaka kontrol edilmelidir.
Question 17Question →

İki basamaklı abab doğal sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Koşulu sağlayan 4 farklı sayı vardır
Verilen ab=7(a+b)ab = 7(a+b) eşitliği çözümlendiğinde a=2ba = 2b bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıyı sağlayan (a,b)(a,b) ikilileri (2,1),(4,2),(6,3)(2,1), (4,2), (6,3) ve (8,4)(8,4) olmak üzere 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ab=7⋅(a+b)ab = 7 \cdot (a + b)
Soruda sayının, rakamları toplamının 7 katına eşit olduğu belirtilmiştir.
2
Sayının basamaklarını çözümleyerek denklemi düzenleyin.
10a+b=7a+7b⇒3a=6b⇒a=2b10a + b = 7a + 7b \Rightarrow 3a = 6b \Rightarrow a = 2b
Basamak analizi kuralına göre ab=10a+bab = 10a + b şeklinde yazılır. Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimler bir araya toplanır.
3
Bulunan a=2ba = 2b bağıntısına uygun rakamları deneyerek sayıları listeleyin.
b=1⇒a=2b=1 \Rightarrow a=2 (Sayı: 21)
b=2⇒a=4b=2 \Rightarrow a=4 (Sayı: 42)
b=3⇒a=6b=3 \Rightarrow a=6 (Sayı: 63)
b=4⇒a=8b=4 \Rightarrow a=8 (Sayı: 84)
aa ve bb birer rakam olduğu için (0≤a,b≤90 \le a,b \le 9 ve a≠0a \neq 0), bu şartı sağlayan değerler bulunur. b=5b=5 için a=10a=10 olur ki bu bir rakam değildir.
4
Bulunan değerlerin sayısını belirleyin.
Toplam 4 farklı sayı vardır: 21, 42, 63, 84.
Olası tüm durumlar listelenmiştir.

Key Concept

Doğal sayıların basamaklarına ayrılarak (ab=10a+bab = 10a + b) denklemlerin çözülmesi.
Question 18Question →

İki basamaklı bir ABAB doğal sayısının sağına 3 rakamı yazılarak üç basamaklı bir sayı, soluna 3 rakamı yazılarak başka bir üç basamaklı sayı elde ediliyor.

Elde edilen bu iki sayının farkı 288 olduğuna göre, A+BA+B toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

A+BA+B toplamı 11'dir.
İki basamaklı ABAB sayısının sağına 3 yazıldığında oluşan sayı 100A+10B+3100A+10B+3, soluna 3 yazıldığında oluşan sayı ise 300+10A+B300+10A+B olur. Bu iki ifadenin farkı alındığında (100A+10B+3)−(300+10A+B)=90A+9B−297=288(100A+10B+3) - (300+10A+B) = 90A+9B-297 = 288 eşitliği elde edilir. Denklemi sadeleştirdiğimizde 9(10A+B)=5859(10A+B) = 585 ve buradan 10A+B=6510A+B = 65 bulunur. Dolayısıyla ABAB sayısı 65'tir ve rakamları toplamı 6+5=116+5=11 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgilere göre üç basamaklı sayıları ABAB sayısı cinsinden ifade edelim.
Sağına 3 yazıldığında oluşan sayı: 10⋅(AB)+310 \cdot (AB) + 3
Soluna 3 yazıldığında oluşan sayı: 300+(AB)300 + (AB)
Bir sayının sağına rakam eklemek sayıyı 10 ile çarpıp rakamı eklemek (basamak kaydırma), soluna eklemek ise o rakamı yüzler basamağına (300) yerleştirmektir.
2
Sayıların farkını 288'e eşitleyen denklemi kuralım.
(10⋅AB+3)−(300+AB)=288(10 \cdot AB + 3) - (300 + AB) = 288
Soruda oluşturulan iki sayının farkının 288 olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi düzenleyerek ABAB sayısını bulalım.
9⋅AB−297=288⇒9⋅AB=585⇒AB=659 \cdot AB - 297 = 288 \Rightarrow 9 \cdot AB = 585 \Rightarrow AB = 65
Benzer terimler sadeleştirilerek bilinmeyen sayı olan ABAB yalnız bırakılır.
4
Bulunan ABAB sayısının rakamları toplamını hesaplayalım.
A=6,B=5A = 6, B = 5 olduğundan A+B=6+5=11A+B = 6+5 = 11
Soru kökünde bizden AA ve BB rakamlarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
ABAB sayısını 10A+B10A + B şeklinde çözümleyerek her iki yeni sayıyı da AA ve BB rakamları cinsinden yazmayı deneyin.
2
Oluşan sayılar 100A+10B+3100A+10B+3 ve 300+10A+B300+10A+B şeklindedir. Bunların farkını alırken eksi işaretini parantez içine dağıtmaya dikkat edin.
3
Elde ettiğiniz 90A+9B=58590A+9B = 585 denklemini 9 parantezine alıp her iki tarafı 9'a bölerek 10A+B10A+B (yani ABAB) değerini bulun.

Practice More

Benzer basamak analizi sorularında sayının rakamlarının yer değiştirmesi veya belirli bir rakamla çarpılması durumlarını inceleyerek yetkinliğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 19Question →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının yüzler ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde elde edilen sayının değeri, başlangıçtaki sayının değerinden 594 eksiktir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam (BB) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6
Basamak çözümlemesi yapıldığında A−C=6A-C=6 bulunur. Olası (A,C)(A,C) ikilileri (7,1),(8,2),(9,3)(7,1), (8,2), (9,3)'tür. Sayının 9'a bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu sadece A=9,C=3A=9, C=3 ikilisinde B=6B=6 olduğunda sağlanır (Sayı 963).

Step-by-Step Solution

1
Verilen azalma miktarını basamak çözümleme yöntemiyle denkleme dök.
ABC−CBA=594⇒(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=594⇒99(A−C)=594ABC - CBA = 594 \Rightarrow (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594 \Rightarrow 99(A - C) = 594
Sayının değeri azaldığı için ilk sayı ikinci sayıdan büyüktür.
2
Elde edilen denklemden A ve C arasındaki farkı bul.
A−C=6A - C = 6
Her iki taraf 99'a bölünerek rakamlar arası ilişki bulunur.
3
Sıfırdan farklı rakam (1-9) olmaları koşuluyla olası (A, C) ikililerini belirle.
Olası ikililer: (7, 1), (8, 2), (9, 3). (Not: (6, 0) elenir çünkü rakamlar sıfırdan farklıdır.)
Rakamlar kümesi {1, 2, ..., 9} aralığındadır.
4
Her ikili için 9 ile tam bölünebilme (A+B+C=9kA+B+C = 9k) ve rakamları birbirinden farklı olma koşullarını test et.
Durum 1 (7,1): 7+B+1=8+B=9k⇒B=17+B+1 = 8+B = 9k \Rightarrow B=1. (Red: B=C=1B=C=1, farklı değil)
Durum 2 (8,2): 8+B+2=10+B=9k⇒B=88+B+2 = 10+B = 9k \Rightarrow B=8. (Red: B=A=8B=A=8, farklı değil)
Durum 3 (9,3): 9+B+3=12+B=9k⇒B=69+B+3 = 12+B = 9k \Rightarrow B=6. (Kabul: 9, 6, 3 farklı rakamlardır)
Sorudaki tüm kısıtlamaların (sıfırdan farklı, birbirinden farklı, 9'a bölünebilme) aynı anda sağlanması gerekir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

Hints

1
Sayı değeri azaldığına göre ABC>CBAABC > CBA olmalıdır. Fark işlemini basamak değerlerine ayırarak (100A+...100A+...) yazmayı deneyin.
2
99(A−C)=59499(A-C) = 594 eşitliğinden AA ve CC arasındaki farkı bulun ve olası rakam ikililerini listeleyin.

Practice More

Rakamları çarpımı ile ilgili benzer bir soru çözerek kısıtlamaların etkisini pekiştirin.
Estimated Time:2m 30s
Question 20Question →

AA, BB ve CC sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;

ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665

eşitliği veriliyor. A<B<CA < B < C koşulunu sağlayan kaç farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı yazılabilir?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Koşulları sağlayan 8 farklı sayı yazılabilir.
Sayıların çözümlemesi yapıldığında 111(A+B+C)=1665111(A+B+C)=1665 eşitliğinden rakamlar toplamının 15 olduğu bulunur. A<B<CA<B<C şartı ve rakamların 1-9 arasında olması gerektiği gözetilerek yapılan sistematik sayımda; A=1A=1 için 2, A=2A=2 için 3, A=3A=3 için 2 ve A=4A=4 için 1 olmak üzere toplam 8 farklı durum tespit edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek toplama işlemini düzenle.
100A+10B+C+100B+10C+A+100C+10A+B=1665100A+10B+C + 100B+10C+A + 100C+10A+B = 1665 ifadesi 111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 olur.
Basamak analizi yöntemiyle sayıları rakam değerlerine ayırmak gerekir.
2
Eşitliği sadeleştirerek rakamların toplamını bul.
A+B+C=1665111=15A+B+C = \frac{1665}{111} = 15 bulunur.
Rakamlar arasındaki ilişkiyi belirlemek için sadeleştirme şarttır.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve rakamların sınırlarını (1-9) dikkate alarak olası üçlüleri sistematik olarak listele.
Olası (A,B,C)(A, B, C) üçlüleri:
1. A=1A=1 için B+C=14B+C=14 (ve 1<B<C1<B<C): (1,5,9),(1,6,8)(1,5,9), (1,6,8) → 2 durum
2. A=2A=2 için B+C=13B+C=13 (ve 2<B<C2<B<C): (2,4,9),(2,5,8),(2,6,7)(2,4,9), (2,5,8), (2,6,7) → 3 durum
3. A=3A=3 için B+C=12B+C=12 (ve 3<B<C3<B<C): (3,4,8),(3,5,7)(3,4,8), (3,5,7) → 2 durum
4. A=4A=4 için B+C=11B+C=11 (ve 4<B<C4<B<C): (4,5,6)(4,5,6) → 1 durum
(A=5 olamaz çünkü en küçük toplam 5+6+7=185+6+7=18 eder, 15'i aşar.)
Sistemli bir şekilde en küçük basamaktan başlayarak tüm kombinasyonlar taranmalıdır.
4
Bulunan durum sayılarını topla.
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı sayı vardır.
Sonuç için tüm geçerli durumların toplamı gereklidir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
Üç basamaklı sayıları çözümleyerek (örneğin ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C) toplayın ve sadeleştirin.
2
A+B+C=15A+B+C=15 eşitliğini bulduktan sonra, AA yerine sırasıyla 1, 2, 3... vererek B+CB+C değerlerini inceleyin.
3
A=1A=1 için B+C=14B+C=14 olur. B<CB<C olduğu için BB en çok kaç olabilir? Tüm AA değerleri için bu kontrolü yapın.
Estimated Time:2m 30s
Page 1 / 2Next