Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar
xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y=60x \cdot y = 60

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    59
  2. 120Answer
  3. C
    136
  4. D
    152
  5. E
    168

Answer

İstenen değerlerin toplamı 120'dir.
Doğru cevap, çarpımları 60 olan tüm çiftlerin incelenip sadece 1'den başka ortak böleni olmayanların seçilmesiyle bulunur. Geçerli çiftler (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17 olup, bu değerlerin toplamı 120 eder.

Step-by-Step Solution

1
Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı ikililerini (x,y)(x, y) belirle.
(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)
Tüm olası çarpan çiftlerini bulmak çözümün ilk adımıdır.
2
Bu ikililerden hangilerinin 'aralarında asal' olduğunu tespit et.
Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12)
Aralarında asal sayılar 1 dışında ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır. (2, 30) ve (6, 10) çiftlerinin ortak böleni 2 olduğu için elenir.
3
Seçilen ikililer için x+yx + y toplamlarını hesapla ve hepsini topla.
(1+60) + (3+20) + (4+15) + (5+12) = 61 + 23 + 19 + 17 = 120
Soruda istenen sonuç, uygun çiftlerin toplamlarının genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında Asal Sayılar

Hints

1
60 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını ikililer halinde (x, y) şeklinde yazarak başlayın.
2
Yazdığınız ikililerden her birinin ortak bölenlerini kontrol edin. Sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin.
3
1 sayısının her pozitif tam sayı ile aralarında asal olduğunu unutmayın. (1, 60) çiftini çözüm kümesine dahil etmelisiniz.

Alternative Method

60 sayısını asal çarpanlarına ayırın: 22⋅3⋅52^2 \cdot 3 \cdot 5. Aralarında asal iki sayının çarpımı bu ise, asal çarpanlar (gruplar halinde) parçalanamaz. Yani 22=42^2=4, 33 ve 55 blokları bir bütündür. Bu blokların x ve y'ye dağılım kombinasyonlarını inceleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic