Examkin

Question

Difficulty: MediumAralarında Asal Sayılar

Birbirinden farklı A,BA, B ve CC pozitif tam sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:
- AA ve BB sayıları aralarında asaldır.
- BB ve CC sayıları aralarında asaldır.
- AA ve CC sayıları aralarında asal değildir.
A+B+C=20A + B + C = 20 olduğuna göre, BB sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. 11Answer
  2. B
    13
  3. C
    15
  4. D
    17
  5. E
    19

Answer

B sayısının alabileceği en büyük değer 11'dir.
B sayısının 11 olması durumunda, toplamları 9 olan ve aralarında asal olmayan 3 ve 6 sayıları A ve C olarak atanabilir. Bu durumda A ile B (3 ve 11) ile B ile C (11 ve 6) aralarında asal kalırken, A ile C (3 ve 6) aralarında asal olmaz. Tüm sayılar birbirinden farklı ve toplamları 20'dir.

Step-by-Step Solution

1
Koşulların analiz edilmesi
A,B,CA, B, C farklı pozitif tam sayılar. GCD(A,B)=1GCD(A,B)=1, GCD(B,C)=1GCD(B,C)=1, GCD(A,C)>1GCD(A,C)>1 ve A+B+C=20A+B+C=20.
Soruda verilen kısıtlamaları matematiksel dile çevirmek çözümü kolaylaştırır.
2
En büyük B değerini bulmak için seçeneklerin büyükten küçüğe denenmesi
B=19→A+C=1B=19 \rightarrow A+C=1 (Pozitif tam sayılar için imkansız).
B=17→A+C=3B=17 \rightarrow A+C=3 ise (1,2)(1,2) olabilir ama GCD(1,2)=1GCD(1,2)=1 (Uygun değil).
B=15→A+C=5B=15 \rightarrow A+C=5 ise (1,4)(1,4) veya (2,3)(2,3) olabilir, her ikisi de aralarında asaldır (Uygun değil).
B=13→A+C=7B=13 \rightarrow A+C=7 ise (1,6),(2,5),(3,4)(1,6), (2,5), (3,4) çiftlerinin tamamı aralarında asaldır (Uygun değil).
B'nin en büyük değeri istendiği için denemeye en büyük sayıdan başlanır.
3
B=11 durumunun kontrol edilmesi
B=11B=11 ise A+C=9A+C=9 olur. AA ve CC aralarında asal olmasın istendiği için (3,6)(3,6) çifti seçilebilir.
A ve C'nin toplamı 9 olup aralarında asal olmayan en küçük farklı pozitif tam sayı çifti 3 ve 6'dır.
4
Tüm koşulların teyit edilmesi
A=3,B=11,C=6A=3, B=11, C=6 için:
- GCD(3,11)=1GCD(3, 11) = 1 (Doğru)
- GCD(11,6)=1GCD(11, 6) = 1 (Doğru)
- GCD(3,6)=3>1GCD(3, 6) = 3 > 1 (Doğru)
- 3+11+6=203+11+6=20 (Doğru)
Seçilen değerlerin sorudaki tüm öncülleri karşıladığından emin olunur.

Key Concept

İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal olmayan sayıların en az bir tane 1'den büyük ortak böleni bulunur.

Hints

1
B sayısını en büyük yapmak için A ve C sayılarını mümkün olduğunca küçük ama aralarında asal olmayacak şekilde seçmelisiniz.
2
A ve C aralarında asal değilse, en az bir ortak bölenleri (örneğin 2 veya 3) olmalıdır. En küçük böyle çift (2,4) veya (3,6) gibi düşünülebilir.
3
B değerini 13'ten başlayarak küçültün ve A+C toplamından elde edeceğiniz çiftleri kontrol edin. A ile C'nin 1'den büyük ortak böleni olmalı!

Practice More

Toplamları verilen üç sayının aralarında asallık ilişkilerini içeren farklı senaryoları (örneğin ikişerli aralarında asal olma) çalışarak pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic