Gerçel sayılar kümesi üzerinde işlem özellikleriyle ilgili olarak; I. İki irrasyonel sayın… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Gerçel sayılar kümesi üzerinde işlem özellikleriyle ilgili olarak;

I. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
II. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
III. Bir irrasyonel sayının karesi her zaman bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?

A
Yalnız I
Yalnız IIAnswer
C
Yalnız III
D
I ve II
E
II ve III

Answer

İfadeler tek tek incelendiğinde sadece II. öncülün daima doğru olduğu görülür.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı sonucunda elde edilen sayı her zaman irrasyoneldir; çünkü aksi halde irrasyonel sayı, iki rasyonel sayının bölümü olarak yazılabilir ve rasyonel olurdu, bu bir çelişkidir.

Step-by-Step Solution

I. öncülü analiz et (İki irrasyonel sayının toplamı)

Daima doğru değildir. Örnek:

a = \sqrt{2}

b = -\sqrt{2}

seçilirse, her ikisi de irrasyoneldir ancak toplamları

a + b = 0

olur ve

0

bir rasyonel sayıdır.

Aksi örnek (counter-example) yöntemiyle çürütme

II. öncülü analiz et (Sıfırdan farklı rasyonel ile irrasyonelin çarpımı)

Daima doğrudur.

x \neq 0

rasyonel ve

y

irrasyonel olsun. Eğer

x \cdot y = z

(rasyonel) olsaydı,

y = z/x

olurdu. İki rasyonel sayının bölümü rasyonel olacağından

y

rasyonel olurdu, bu da

y

'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Olmayana ergi (çelişki bulma) yöntemiyle ispat

III. öncülü analiz et (İrrasyonel sayının karesi)

Daima doğru değildir. Örnek:

x = \sqrt{2} + 1

irrasyonel bir sayıdır. Karesi

x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}

olur. Sonuç hala irrasyoneldir.

Tam kare açılımı ve köklü sayı özelliği

Key Concept

İrrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve kapalılık (closure) durumu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic