Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc tam sayıları için
a⋅b+3a=4c2+6a \cdot b + 3a = 4c^2 + 6

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

  1. A
    a + b
  2. B
    b + c
  3. C
    a⋅ca \cdot c
  4. a⋅(b−1)a \cdot (b - 1)Answer
  5. E
    b⋅(a+1)b \cdot (a + 1)

Answer

Verilen eşitlikten a'nın çift veya b'nin tek olması gerektiği sonucuna varılır; bu koşullar altında daima çift olan ifade a⋅(b−1)a \cdot (b - 1) seçeneğidir.
Eşitliğin sağ tarafı (4c2+64c^2 + 6) kesinlikle çifttir. Dolayısıyla sol taraf a(b+3)a(b+3) de çift olmalıdır. Bu çarpımın çift olması için ya aa çift olmalı ya da (b+3)(b+3) çift (yani bb tek) olmalıdır. Tek imkansız durum, aa'nın tek ve bb'nin çift olduğu durumdur (Tek ×\times Tek = Tek olacağından). Doğru seçenekteki a⋅(b−1)a \cdot (b - 1) ifadesini incelersek: Eğer aa çift ise, çarpım zaten çifttir. Eğer aa tek ise, yukarıdaki kural gereği bb mutlaka tek olmalıdır; bu durumda (b−1)(b-1) çift olur ve çarpım yine çift çıkar. Her iki durumda da sonuç çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği ortak çarpan parantezine alarak ve sağ tarafın paritesini (tek/çift durumunu) inceleyerek analiz et.
a(b+3)=2(2c2+3)a(b + 3) = 2(2c^2 + 3)
Sol tarafı a parantezine almak çarpan analizi yapmayı sağlar; sağ tarafın 2 çarpanı içerdiği için kesinlikle çift olduğu görülür.
2
Çarpımın sonucunun çift olması kuralını uygula.
a(b+3)a(b + 3) ifadesi çifttir.
Bir çarpım işleminin sonucu çift ise, çarpanlardan en az biri çift olmalıdır.
3
Olası durumları (senaryoları) listele.
Durum 1: a çifttir (b her şey olabilir). Durum 2: b+3 çifttir ⇒\Rightarrow b tektir (a her şey olabilir).
Tek ve çift sayı kurallarına göre analiz yapılır. Tek yasaklı durum: a'nın tek VE b'nin çift olduğu durumdur (Çünkü Tek ×\times Tek = Tek olurdu).
4
Seçenekleri geçerli durumlara göre test et.
a⋅(b−1)a \cdot (b - 1) ifadesi incelendiğinde; eğer a çiftse sonuç çifttir. Eğer a tekse, zorunlu olarak b tektir; b tek ise (b-1) çifttir ve sonuç yine çift olur.
Her iki geçerli senaryoda da sonucun çift olduğunu doğrulayan tek seçenek budur.

Key Concept

Bir çarpımın sonucu çift ise çarpanlardan en az biri çifttir prensibi ve durum analizi.

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4c2+64c^2 + 6 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sol tarafı aa parantezine alın: a(b+3)a(b+3). Bu çarpımın sonucu çift olmalıdır. Hangi (a, b) çifti bu sonucu sağlamaz?
3
Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az biri çift olmalıdır. aa tek ve bb çift olursa a(b+3)a(b+3) tek olur, bu durum imkansızdır. Şıkları denerken 'a tek ise b mutlaka tektir' kuralını kullanın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan (a,b) örnekleri seçin. Örn: a=2 (Çift) ise b=1 olabilir. a=1 (Tek) ise b=1 olmak zorundadır. Bu örnekleri şıklarda yerine koyarak elemeler yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic