Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Konveks bir düzgün çokgenin ardışık köşeleri A,B,C,D,E,…A, B, C, D, E, \dots şeklinde isimlendirilmiştir. Bu çokgenin [AB][AB] ve [DE][DE] kenarları uzatıldığında bir KK noktasında kesişmekte ve m(BKD^)=60∘m(\widehat{BKD}) = 60^\circ olmaktadır. Buna göre, bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

  1. A
    8
  2. 9Answer
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

Düzgün çokgen 9 kenarlıdır.
Verilen soruda ABAB ve DEDE kenarları uzatıldığında, aralarında BCBC ve CDCD kenarları kalır. Bu yapı, 3 dış açılık bir dönüşe karşılık gelir. Uzantıların kesişim açısı 60∘60^\circ olarak verildiğinden, 180−3α=60180 - 3\alpha = 60 bağıntısı kurulur. Buradan bir dış açı α=40∘\alpha=40^\circ bulunur. Dış açısı 40∘40^\circ olan düzgün çokgenin kenar sayısı 360/40=9360/40 = 9 dur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen geometrik yapıyı ve ilgili açıları tanımla.
A, B, C, D, E ardışık köşelerdir. [AB] ve [DE] kenarlarının uzantıları K noktasında kesişmektedir. Aradaki boşlukta B, C, D köşeleri ve [BC], [CD] kenarları bulunmaktadır.
Kesişim açısını hesaplamak için çokgenin dış açıları ile oluşan geometrik şeklin (K-B-C-D dörtgeni veya eşdeğer yapı) analizi gereklidir.
2
Kesişim açısı ile dış açı arasındaki bağıntıyı kur.
Arada k=2 kenar ([BC] ve [CD]) bulunduğu için, kesişim açısı 180∘−3α180^\circ - 3\alpha formülü ile ifade edilir (Burada α\alpha bir dış açıdır).
Ardışık kenarların uzantıları arasındaki açı, aradaki 'dönüş' miktarı ile ilişkilidir. B, C ve D köşelerindeki 3 dış açının toplam dönüşü 3α3\alpha'dır. K noktasındaki açı ile bu dönüşün toplamı 180∘180^\circ'yi tamamlar (veya çemberde açı mantığıyla: (n−6)γ/2=60(n-6)\gamma / 2 = 60). Denklem: 180−3α=60180 - 3\alpha = 60.
3
Denklemi çözerek dış açıyı (α\alpha) bul.
180−3α=60⇒3α=120⇒α=40∘180 - 3\alpha = 60 \Rightarrow 3\alpha = 120 \Rightarrow \alpha = 40^\circ.
Dış açıyı bulmak, kenar sayısına geçiş yapmak için gereklidir.
4
Dış açıdan kenar sayısına (n) geçiş yap.
n=360α=36040=9n = \frac{360}{\alpha} = \frac{360}{40} = 9.
Düzgün çokgenlerde kenar sayısı n=360/Dıs¸ Ac¸ın = 360 / \text{Dış Açı} formülü ile bulunur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar uzantılarının kesişim açısı, aradaki kenar sayısına ve dış açıya bağlıdır.

Hints

1
Düzgün çokgenin köşelerinin bir çember üzerinde olduğunu hayal edin. Kenar uzantılarının oluşturduğu açı, çemberde 'dış açı' kuralına benzer şekilde hesaplanabilir.
2
AB ve DE kenarları arasında kalan köşe ve kenarları sayın. B, C ve D köşelerindeki dış açıların toplamı, K noktasındaki açıyı etkiler.
3
Oluşan geometrik yapıda m(K^)=180∘−(Aradaki dıs¸ ac¸ı sayısı×α)m(\widehat{K}) = 180^\circ - (\text{Aradaki dış açı sayısı} \times \alpha) bağıntısını kullanın. Burada arada 3 dış açı (B, C, D) etkilidir.

Alternative Method

Çember yöntemi: KK açısı, gördüğü yayların farkının yarısıdır. Büyük yay (n−4) kenar(n-4)\text{ kenar}, küçük yay 2 kenar2\text{ kenar} uzunluğundadır. (n−4)α−2α2=60\frac{(n-4)\alpha - 2\alpha}{2} = 60 denklemi de aynı sonucu verir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic