Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇokgenler

Bir düzgün çokgenin, çevrel çemberinin merkezinden geçen bir köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı α\alpha, aynı çokgenin en kısa köşegeni ile bir kenarı arasındaki açı ise β\beta olarak tanımlanıyor.

α=8β\alpha = 8\beta olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    90
  3. C
    104
  4. 135Answer
  5. E
    170

Answer

Düzgün çokgenin köşegen sayısı 135'tir.
Düzgün çokgenin en kısa köşegeni ile kenar arasındaki açı (β\beta), dış açının yarısıdır. Merkezden geçen köşegen (en uzun) ile kenar arasındaki açı (α\alpha) ise iç açının yarısıdır. Verilen α=8β\alpha=8\beta ilişkisi kullanıldığında, iç açının dış açının 8 katı olduğu görülür. Buradan dış açı 20∘20^{\circ} bulunur ve kenar sayısı n=18n=18 çıkar. Köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ile cevap 135 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açılar ile kenar sayısı arasındaki ilişkiyi belirle.
Düzgün çokgenin bir dış açısına 2β2\beta dersek, iç açısı 180∘−2β180^{\circ} - 2\beta olur.
En kısa köşegen (bir köşeyi atlayan), ardışık üç köşenin oluşturduğu ikizkenar üçgenin tabanıdır. Bu üçgenin tepe açısı çokgenin iç açısıdır. Taban açıları ise β\beta'dır. Dolayısıyla iç açı =180∘−2β= 180^{\circ} - 2\beta olur. Bu da 2β2\beta'nın dış açıya eşit olduğunu gösterir.
2
Merkezden geçen köşegenin özelliğini kullan.
Merkezden geçen köşegen iç açıyı ortalar, yani α=I˙c¸ Ac¸ı2\alpha = \frac{\text{İç Açı}}{2}'dir.
Bir düzgün çokgende çevrel çemberin merkezinden geçen köşegen (çap), simetri eksenidir ve bulunduğu köşedeki iç açıyı iki eş parçaya böler.
3
Verilen α=8β\alpha = 8\beta eşitliğini denklemde yerine koy.
180∘−2β2=8β⇒90∘−β=8β⇒9β=90∘⇒β=10∘\frac{180^{\circ} - 2\beta}{2} = 8\beta \Rightarrow 90^{\circ} - \beta = 8\beta \Rightarrow 9\beta = 90^{\circ} \Rightarrow \beta = 10^{\circ}.
İç açı ve dış açı arasındaki ilişkiyi kullanarak β\beta değerini bulmak için.
4
Kenar sayısını (nn) bul.
Dış açı =2β=20∘= 2\beta = 20^{\circ}. n=360∘20∘=18n = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18.
Dış açı formülü 360/n360/n kullanılarak kenar sayısı hesaplanır.
5
Toplam köşegen sayısını hesapla.
Köşegen Sayısı =n(n−3)2=18(18−3)2=18×152=9×15=135= \frac{n(n-3)}{2} = \frac{18(18-3)}{2} = \frac{18 \times 15}{2} = 9 \times 15 = 135.
Köşegen sayısı formülü uygulanır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde açı özellikleri, köşegen bağıntıları ve simetri eksenleri.
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic