Examkin

Question

Difficulty: HardKümeler

A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

Kümelerin eleman sayıları arasında,
s(A∖B)3=s(A∩B)2=s(B∖A)4 \frac{s(A \setminus B)}{3} = \frac{s(A \cap B)}{2} = \frac{s(B \setminus A)}{4}
orantısı bulunmaktadır.
s(A∪B)<60 s(A \cup B) < 60

eşitsizliği sağlandığına göre, s(A)s(A) değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    25
  2. 30Answer
  3. C
    36
  4. D
    45
  5. E
    54

Answer

A kümesinin alabileceği en büyük değer 30'dur.
Verilen oranlara göre küme parçaları 3k3k, 2k2k ve 4k4k olarak belirlenir. Toplam birleşim 9k9k olur ve 9k<609k < 60 şartını sağlayan en büyük tam sayı k=6k=6'dır. A kümesi 3k+2k=5k3k + 2k = 5k olduğundan, en büyük değeri 5×6=305 \times 6 = 30 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen orantıyı kullanarak her bir bölgenin eleman sayısını ortak bir k sabiti cinsinden ifade et.
s(A∖B)=3ks(A \setminus B) = 3k, s(A∩B)=2ks(A \cap B) = 2k, s(B∖A)=4ks(B \setminus A) = 4k
Orantı sabiti kullanarak bilinmeyenleri tek değişkene indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını k cinsinden hesapla.
s(A∪B)=3k+2k+4k=9ks(A \cup B) = 3k + 2k + 4k = 9k
Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişim kümesinin toplamına eşittir.
3
Verilen eşitsizliği kullanarak k'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bul.
9k<609k < 60 ise k en çok 6 olabilir (9×6=54<609 \times 6 = 54 < 60).
Küme eleman sayıları tam sayı olmak zorundadır, bu nedenle k tam sayı seçilmelidir.
4
Bulunan k değeri için A kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3k+2k=5ks(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3k + 2k = 5k. k=6k=6 için s(A)=5×6=30s(A) = 5 \times 6 = 30.
A kümesi, 'A fark B' ve 'A kesişim B' kümelerinin birleşimidir.

Key Concept

Kümelerde Eleman Sayısı Hesaplama ve Oran Orantı

Hints

1
Orantıdaki paydaları (3, 2, 4) kullanarak her bir bölgeye 'k' cinsinden bir değer verin.
2
s(A U B) ifadesini k cinsinden yazıp 60'tan küçük en büyük katını bulun.
3
s(A U B) = 3k + 2k + 4k = 9k eder. 9k < 60 ise k en çok 6 olabilir. Şimdi s(A)'yı hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşimin en az kaç olabileceği sorularını inceleyin.

Alternative Method

Şıklardan giderek de çözülebilir. Şıklardaki değerler s(A) yani 5k'dır. Bu durumda şık 5'e tam bölünmelidir. A, B, C şıkları 5'in katı değildir (C şıkkı 36). Pardon, şıklarda 5'in katı olan A(25), B(30), D(45). Her biri için k değerini bulup 9k < 60 şartını sağlayıp sağlamadığına bakabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic