Gerçel sayılar kümesinin (\,\mathbb{R}\,, reel sayılar) bir alt kümesi olan K kümesi aşağı… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Gerçel sayılar kümesinin ( $\,\mathbb{R}\,$ , reel sayılar) bir alt kümesi olan $K$ kümesi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

K = \{ x \mid x = a + b\sqrt{2} \text{ ve } a, b \in \mathbb{Q} \}

Bu tanıma göre, $K$ kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A
Rasyonel sayılar kümesi ( $\mathbb{Q}$ ), $K$ kümesinin bir alt kümesidir.
B
$K$ kümesindeki iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel bir sayı olabilir.
C
$K$ kümesindeki sıfırdan farklı her elemanın çarpma işlemine göre tersi de $K$ kümesindedir.
D
$K$ kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.
Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayılar $K$ kümesinde yer alır.Answer

Answer

Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayıların

K

kümesinde yer aldığı ifadesi yanlıştır.

Tanımlanan

K

kümesi, sadece rasyonel sayılar ve

\sqrt{2}

ile türetilebilen sayıları içerir. Ancak irrasyonel sayılar kümesi çok daha geniştir (örneğin

\sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi, e

gibi). Bu sayılar

a+b\sqrt{2}

formunda yazılamadığı için kümenin içinde yer almazlar. Bu nedenle 'tüm irrasyonel sayılar

K

kümesindedir' ifadesi yanlıştır.

Step-by-Step Solution

K

kümesinin tanımını analiz et.

K

kümesi, rasyonel sayılar (

a

) ile

\sqrt{2}

'nin rasyonel katlarının (

b\sqrt{2}

) toplamından oluşan sayılardır.

Kümenin kapsamını belirlemek için elemanların genel formunu anlamak gerekir.

Doğru olduğu iddia edilen seçenekleri test et.

Rasyonel sayılar (

b=0

durumu), çarpımsal tersler (eşlenik) ve işlem kapalılığı özellikleri sağlanır.

Yanlış olan seçeneği bulmak için diğer seçeneklerin doğruluğu teyit edilmelidir.

Tüm irrasyonel sayıların kümeye dahil olup olmadığını kontrol et.

\sqrt{3}

sayısı irrasyoneldir ancak

a, b \in \mathbb{Q}

olmak üzere

a + b\sqrt{2} = \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan

a,b

değerleri bulunamaz.

Kapsam iddiasını çürütmek için kümeye dahil olmayan bir karşıt örnek (counter-example) yeterlidir.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve Kapalılık Özellikleri

Hints

Kümenin tanımındaki

a

b

sayılarını değiştirerek hangi sayıları elde edebileceğinizi düşünün. Örneğin

b=0

olursa ne olur?

Şıklardaki iddiaları çürütmek için 'karşıt örnek' (counter-example) bulmaya çalışın. Özellikle 'tüm' ifadesi geçen şıkkı sorgulayın.

Practice More

İrrasyonel sayılarla işlemlerin sonucunun (toplam, çarpım) rasyonel olup olamayacağına dair sorular çözün.

Alternative Method

Şıklarda verilen önermeleri sayısal değerler vererek test edin. E şıkkı için

\sqrt{3}

sayısını

a+b\sqrt{2}

formunda yazıp yazamayacağınızı deneyin (

a^2 = 3 - 2b^2...

gibi bir çelişkiye ulaşırsınız).

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic