Examkin

Question

Difficulty: Very hardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde x2+y2=36x^2 + y^2 = 36 denklemiyle verilen çemberin, iç bölgesindeki K(4,2)K(4, 2) noktasından geçen tüm kirişlerinin orta noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0Answer
  2. B
    x^2 + y^2 - 8x - 4y = 0
  3. C
    x^2 + y^2 = 20
  4. D
    2x + y - 10 = 0
  5. E
    x^2 + y^2 - 2x - 4y + 16 = 0

Answer

x² + y² - 4x - 2y = 0 denklemi
Çemberde bir kirişin orta noktası ile merkezi birleştiren doğru, o kirişe diktir. Kirişler sabit bir K noktasından geçtiği için, kirişlerin orta noktaları (M), orijin (O) ve K noktası ile oluşturdukları OMK üçgeninde daima 90 derecelik bir açıya (m(OMK) = 90°) sahip olur. [OK] doğru parçasını dik açı ile gören noktaların geometrik yeri, [OK]'yı çap kabul eden çemberdir. O(0,0) ve K(4,2) olduğundan, bu yeni çemberin merkezi (2,1) ve yarıçap karesi 5 olur. Denklemi düzenlediğimizde x² + y² - 4x - 2y = 0 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kirişin orta noktası özelliği ile dikliği belirle.
Çemberin merkezi O(0,0) ile kirişin orta noktası M birleştirildiğinde, [OM] doğru parçası kirişe diktir ([OM] ⊥ [MK]).
Çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar (veya tersi).
2
Geometrik yerin tanımını yap.
M noktası değişkendir ancak her zaman OMK açısı 90° olur. [OK] doğru parçasını 90° ile gören noktaların geometrik yeri, çapı [OK] olan çemberdir.
Çapı gören çevre açı 90 derecedir kuralının tersi.
3
Yeni çemberin merkezini ve yarıçapını bul.
O(0,0) ve K(4,2) noktalarının orta noktası (yeni merkez) C(2,1)'dir. Yarıçap r = |OK|/2 = √(4²+2²)/2 = √20/2 = √5 birimdir.
Çapın orta noktası merkezdir, çap uzunluğunun yarısı yarıçaptır.
4
Çember denklemini yaz ve düzenle.
(x - 2)² + (y - 1)² = (√5)² ⇒ x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 5 ⇒ x² + y² - 4x - 2y = 0.
Merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çember denklemi: (x-a)² + (y-b)² = r².

Key Concept

Bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri, o doğru parçasını çap kabul eden çemberdir.

Hints

1
Çemberin merkezi O(0,0) ile herhangi bir kirişin orta noktası M'yi birleştiren doğrunun kirişe göre açısını düşünün.
2
Kiriş K noktasından geçtiğine göre, M noktası [OK] doğru parçasını nasıl bir açıyla görür?
3
[OK] doğru parçasını 90 derece ile gören noktaların kümesi, çapı [OK] olan bir çemberdir. Bu çemberin denklemini yazın.

Practice More

Bir parabolün tepe noktalarının geometrik yeri ile ilgili benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Analitik olarak, M(x,y) noktası olsun. K(4,2) ve O(0,0) olmak üzere, OM doğrusu ile MK doğrusu birbirine diktir (eğimler çarpımı -1). m_OM = y/x ve m_MK = (y-2)/(x-4). Çarpımları -1'e eşitlenerek doğrudan denklem bulunabilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic