Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=(a−3)x2+(b+2)x+a⋅bf(x) = (a - 3)x^2 + (b + 2)x + a \cdot b

fonksiyonu bir sabit fonksiyondur.

Buna göre, f(2026)f(2026) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. -6Answer
  2. B
    -5
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    6

Answer

Sabit fonksiyonun değeri her xx için aynı olup −6-6 olarak hesaplanır.
Sabit fonksiyonun tanımı gereği x2x^2 ve xx içeren terimlerin katsayıları 00 olmalıdır. Bu durumda a−3=0⇒a=3a-3=0 \Rightarrow a=3 ve b+2=0⇒b=−2b+2=0 \Rightarrow b=-2 bulunur. Fonksiyonun genel kuralı f(x)=a⋅bf(x) = a \cdot b şekline dönüşür. Değerler yerine yazıldığında f(x)=3⋅(−2)=−6f(x) = 3 \cdot (-2) = -6 elde edilir. Fonksiyon sabit olduğu için f(2026)f(2026) değeri de −6-6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Sabit fonksiyon tanımını uygula
a−3=0a - 3 = 0 ve b+2=0b + 2 = 0
Sabit fonksiyonda x,x2,x3...x, x^2, x^3... gibi değişkenli terimlerin bulunmaması için katsayıları sıfıra eşitlenmelidir.
2
Bilinmeyen parametreleri bul
a=3a = 3 ve b=−2b = -2
Denklemler çözülerek fonksiyondaki sabit terimi oluşturacak aa ve bb değerleri belirlenir.
3
Fonksiyonun sabit değerini hesapla
f(x)=0⋅x2+0⋅x+3⋅(−2)=−6f(x) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 \cdot (-2) = -6
Bulunan aa ve bb değerleri fonksiyonda yerine yazılarak sabit sayı elde edilir.
4
İstenen değeri bul
f(2026)=−6f(2026) = -6
Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman aynı görüntüye gider, bu yüzden xx yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç değişmez.

Key Concept

Sabit fonksiyonlarda değişkenli terimlerin katsayıları sıfırdır ve fonksiyonun değeri her noktada sabittir.

Hints

1
Bir fonksiyon sabit ise, içinde xx değişkeni barındıran terimler bulunmamalıdır.
2
x2x^2 ve xx önündeki katsayıları sıfıra eşitleyerek aa ve bb sayılarını bulun.
3
Fonksiyon f(x)=a⋅bf(x) = a \cdot b halini alacaktır. Bulduğunuz aa ve bb değerlerini çarpın.

Practice More

Birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyonu) sorularında ise f(x)=xf(x) = x kuralını uygulayarak katsayıları buna göre düzenlemeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonun her xx değeri için aynı sonucu vermesi gerektiğini biliyoruz. x=0x=0 için f(0)=a⋅bf(0) = a \cdot b ve x=1x=1 için f(1)=(a−3)+(b+2)+a⋅bf(1) = (a-3) + (b+2) + a \cdot b olur. Bu iki değer birbirine eşit olmalıdır (f(0)=f(1)f(0) = f(1)), buradan katsayıların sıfır olması gerektiği çıkarımına da varılabilir.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic