Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
(m+1)x+(m−1)y−m−3=0(m+1)x + (m-1)y - m - 3 = 0
denklemiyle verilen doğruların geçtiği sabit nokta KK olarak işaretleniyor.

Buna göre KK noktasının, 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    2,5
  4. D
    3
  5. E
    4

Answer

Doğru cevap 2 birimdir.
Verilen denklem mm parametresine bağlı bir doğru demetidir. Bu doğruların hepsi sabit bir KK noktasından geçer. Denklemi m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x+y-1) + (x-y-3)=0 şeklinde düzenlediğimizde, her mm için sağlanması adına x+y−1=0x+y-1=0 ve x−y−3=0x-y-3=0 olmalıdır. Bu sistem çözüldüğünde K(2,−1)K(2, -1) noktası bulunur. Bu noktanın 3x+4y−12=03x+4y-12=0 doğrusuna uzaklığı formülle hesaplandığında sonuç 2 birim bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğru demeti denklemini mm parametresine göre düzenle.
m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0
Her mm değeri için sağlanması gereken koşulu bulmak için denklem mm parantezine alınır.
2
Elde edilen ifadede mm'nin katsayısını ve sabit terimi sıfıra eşitleyerek denklem sistemini çöz.
x+y−1=0x + y - 1 = 0 ve x−y−3=0x - y - 3 = 0 denklemlerinden x=2x = 2 ve y=−1y = -1 bulunur. Böylece K(2,−1)K(2, -1) noktası elde edilir.
Eşitliğin her mm için sağlanması, parantez içlerinin sıfır olmasıyla mümkündür.
3
K(2,−1)K(2, -1) noktasının 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığını hesapla.
d=∣3(2)+4(−1)−12∣32+42=∣6−4−12∣5=∣−10∣5=2d = \frac{|3(2) + 4(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 12|}{5} = \frac{|-10|}{5} = 2 birim.
Noktanın doğruya uzaklığı formülü: d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Key Concept

Doğru Demeti ve Noktanın Doğruya Uzaklığı

Hints

1
Denklemi mm parantezine alarak düzenlemeyi deneyin; bu sayede mm'den bağımsız olan ortak çözüm kümesini görebilirsiniz.
2
m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0 eşitliğinin her mm sayısı için sağlanması, ancak mm'nin katsayısının ve sabit terimin aynı anda sıfır olmasıyla mümkündür.
3
Sabit nokta KK'yi bulmak için x+y−1=0x + y - 1 = 0 ve x−y−3=0x - y - 3 = 0 denklem sistemini çözün. Bulduğunuz (x,y)(x, y) değerlerini uzaklık formülünde yerine yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, sabit bir noktadan geçen doğrular yerine, paralel doğrular arasındaki uzaklığı soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

m değerine keyfi iki farklı sayı (örneğin m=1 ve m=-1) vererek iki farklı doğru denklemi elde edip, bu iki doğrunun kesişim noktasını bularak da K noktasına ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic