Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Bir ABCDABCD eşkenar dörtgeninde köşegenler KK noktasında kesişmektedir. KK noktasından [AB][AB] kenarına çizilen dikmenin kesim noktası EE olarak işaretleniyor.

∣AE∣=3|AE| = 3 cm ve ∣EB∣=12|EB| = 12 cm olduğuna göre, ABCDABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    90
  2. B
    135
  3. C
    144
  4. 180Answer
  5. E
    225

Answer

180
Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden oluşan dik üçgende Öklid bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygulanır. 3⋅12=363 \cdot 12 = 36 olduğundan üçgenin yüksekliği 6 cm bulunur. Eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği bu değerin iki katı (12 cm) olur. Taban uzunluğu 15 cm olduğundan, Alan = 15⋅12=18015 \cdot 12 = 180 cm2\text{cm}^2 dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini hatırla.
Köşegenler birbirini dik keser, yani AC⊥BDAC \perp BD dir. Bu durumda △AKB\triangle AKB bir dik üçgendir.
Eşkenar dörtgenin en temel özelliklerinden biri köşegenlerin dik kesişmesidir.
2
Dik üçgende Öklid bağıntısını uygula.
∣KE∣2=∣AE∣⋅∣EB∣⇒∣KE∣2=3⋅12=36⇒∣KE∣=6|KE|^2 = |AE| \cdot |EB| \Rightarrow |KE|^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow |KE| = 6 cm.
Dik açıdan indirilen dikme (yükseklik) için h2=p⋅kh^2 = p \cdot k bağıntısı kullanılır.
3
Eşkenar dörtgenin yüksekliğini bul.
KK noktası köşegenlerin kesim noktası (ağırlık merkezi) olduğu için, eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği (hh), KK noktasının kenara uzaklığının iki katıdır: h=2⋅∣KE∣=2⋅6=12h = 2 \cdot |KE| = 2 \cdot 6 = 12 cm.
Simetri merkezi olan KK noktasının kenara uzaklığı, toplam yüksekliğin yarısıdır.
4
Alanı hesapla.
Alan = Taban ⋅\cdot Yükseklik = ∣AB∣⋅h=(3+12)⋅12=15⋅12=180|AB| \cdot h = (3+12) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 cm2\text{cm}^2.
Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve alanı taban ile yüksekliğin çarpımıdır.

Key Concept

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi ve Öklid bağıntısı.

Hints

1
Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini (dik mi, eğik mi?) hatırlayın.
2
Köşegenlerin kesişimiyle oluşan △AKB\triangle AKB üçgeni bir dik üçgendir. Dik açıdan dikme inildiğinde hangi bağıntı kullanılır?
3
Öklid bağıntısı ile ∣KE∣|KE| uzunluğunu bulun. Eşkenar dörtgenin yüksekliği bu uzunluğun iki katıdır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic