Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Kenar uzunlukları ∣AB∣=∣AD∣=15|AB|=|AD|=15 cm ve ∣BC∣=∣CD∣=20|BC|=|CD|=20 cm olan bir ABCDABCD dörtgeninde, m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ABCDABCD dörtgeninin [BD][BD] köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    12
  2. B
    16
  3. 24Answer
  4. D
    25
  5. E
    30

Answer

24 cm
Verilen şekil bir deltoiddir ve köşegenleri birbirine diktir. △ABC\triangle ABC dik üçgen olduğu için hipotenüs ∣AC∣=25|AC|=25 cm bulunur. Üçgenin alan bağıntısından (15×20=25×h15 \times 20 = 25 \times h) hipotenüse ait yükseklik h=12h=12 cm olarak hesaplanır. Deltoidde [AC][AC] simetri ekseni olduğundan [BD][BD] köşegenini ortalar; bu nedenle ∣BD∣=2×12=24|BD| = 2 \times 12 = 24 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Dörtgenin özelliklerini belirle
Dörtgen bir deltoiddir (ikişer kenarı eşit). Deltoidde köşegenler dik kesişir ([AC]⊥[BD][AC] \perp [BD]).
∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve ∣BC∣=∣CD∣|BC|=|CD| olması şeklin deltoid olduğunu gösterir.
2
[AC][AC] köşegeninin uzunluğunu hesapla
∣AC∣2=152+202=225+400=625⇒∣AC∣=25|AC|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25 cm.
m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ olduğundan △ABC\triangle ABC dik üçgendir ve Pisagor bağıntısı uygulanır.
3
Köşegenlerin kesişim noktasını (H) belirleyerek [BH][BH] yüksekliğini bul
Alan(△ABC\triangle ABC) = 15×202=25×∣BH∣2⇒300=25×∣BH∣⇒∣BH∣=12\frac{15 \times 20}{2} = \frac{25 \times |BH|}{2} \Rightarrow 300 = 25 \times |BH| \Rightarrow |BH| = 12 cm.
Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısına veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir (Öklid Alan Bağıntısı).
4
[BD][BD] köşegeninin toplam uzunluğunu hesapla
∣BD∣=2×∣BH∣=2×12=24|BD| = 2 \times |BH| = 2 \times 12 = 24 cm.
Deltoidde simetri ekseni olmayan köşegen ([AC][AC]), diğer köşegeni ([BD][BD]) ortalar (∣BH∣=∣HD∣|BH| = |HD|).

Key Concept

Deltoidde köşegenlerin dik kesişmesi ve dik üçgende alan/Öklid bağıntıları.

Hints

1
Kenar uzunlukları eşit olan (∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve ∣BC∣=∣CD∣|BC|=|CD|) dörtgen bir deltoiddir.
2
Deltoidde köşegenler birbirini dik keser. △ABC\triangle ABC dik üçgeninde hipotenüs ([AC][AC]) uzunluğunu bulunuz.
3
Dik üçgende alan bağıntısını kullanarak hipotenüse ait yüksekliği (∣BH∣|BH|) hesaplayın. Aradığınız köşegen bu yüksekliğin iki katıdır.

Practice More

Deltoidin alanının sorulduğu ve köşegen uzunluklarının verildiği bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Öklid'in 1h2=1c2+1a2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{a^2} bağıntısı kullanılarak 1h2=1152+1202\frac{1}{h^2} = \frac{1}{15^2} + \frac{1}{20^2} işlemiyle hh (yani ∣BH∣|BH|) doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic