Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

ABCDABCD bir dikdörtgen olmak üzere, EE noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. Dikdörtgen [DE][DE] boyunca katlandığında CC köşesi, [AB][AB] kenarı üzerindeki FF noktası ile çakışmaktadır. ∣AD∣=9|AD|=9 cm ve ∣AF∣=12|AF|=12 cm olduğuna göre, ∣EC∣|EC| kaç cm'dir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

Aranan uzunluk 5 cm'dir.
Doğru cevap, katlama işlemi sonucunda oluşan eş üçgenlerin ve korunan uzunlukların doğru tespit edilmesiyle bulunur. ∣DC∣|DC| kenarı katlanarak ∣DF∣|DF| hipotenüsü olur, bu da dikdörtgenin uzun kenarını verir. Ardından kalan parçada (∣FB∣|FB|) oluşturulan ikinci Pisagor denklemi ∣EC∣|EC| uzunluğunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Katlama özelliğini analiz et.
Katlama sonucu △DCE≅△DFE\triangle DCE \cong \triangle DFE olur. Bu durumda ∣DC∣=∣DF∣|DC| = |DF| ve ∣EC∣=∣EF∣|EC| = |EF| eşitlikleri sağlanır. Ayrıca ∠C=90∘\angle C = 90^\circ olduğu için ∠DFE=90∘\angle DFE = 90^\circ olur (ancak bu soruda uzunluklar yeterlidir).
Katlama sorularında açıortay ve kenar eşitlikleri korunur.
2
△DAF\triangle DAF dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣DF∣2=∣AD∣2+∣AF∣2⇒∣DF∣2=92+122=81+144=225|DF|^2 = |AD|^2 + |AF|^2 \Rightarrow |DF|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225. Buradan ∣DF∣=15|DF| = 15 cm bulunur.
Dikdörtgenin köşesi AA dik açıdır.
3
Dikdörtgenin diğer kenar uzunluklarını belirle.
∣DC∣=∣DF∣|DC| = |DF| olduğundan ∣DC∣=15|DC| = 15 cm olur. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan ∣AB∣=∣DC∣=15|AB| = |DC| = 15 cm'dir. Buradan ∣FB∣=∣AB∣−∣AF∣=15−12=3|FB| = |AB| - |AF| = 15 - 12 = 3 cm bulunur.
Dikdörtgenin temel özellikleri.
4
△FBE\triangle FBE dik üçgeninde bilinmeyeni bul.
∣BC∣=∣AD∣=9|BC| = |AD| = 9 cm'dir. ∣EC∣=x|EC| = x dersek, ∣EB∣=9−x|EB| = 9 - x olur. Katlama özelliğinden ∣EF∣=∣EC∣=x|EF| = |EC| = x olur. △FBE\triangle FBE üçgeninde: 32+(9−x)2=x2⇒9+81−18x+x2=x2⇒90=18x⇒x=53^2 + (9-x)^2 = x^2 \Rightarrow 9 + 81 - 18x + x^2 = x^2 \Rightarrow 90 = 18x \Rightarrow x = 5.
Dik üçgende Pisagor bağıntısı kurarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Katlama Problemleri ve Pisagor Bağıntısı
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic