ABCD bir yamuk olmak üzere [AB] \parallel [DC] dir. Köşegenlerin kesim noktası K olarak be… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$ABCD$ bir yamuk olmak üzere $[AB] \parallel [DC]$ dir. Köşegenlerin kesim noktası $K$ olarak belirlenmiştir. $AB$ kenarı üzerinde alınan bir $L$ noktası için $[KL] \parallel [BC]$ olduğu bilinmektedir.

3|DC| = 2|AB|

Verilenlere göre, $Alan(KBC) = 60 \text{ cm}^2$ ise $Alan(AKL)$ kaç $\text{ cm}^2$ dir?

A
36
B
45
C
48
54Answer
E
60

Answer

Verilen oranlar kullanılarak yamuğun alt parçasındaki üçgenin (ABK) alanı 90 cm² bulunur. Toplam ABC alanı 150 cm² olur. KL, BC'ye paralel olduğu için oluşan AKL üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı 3/5 olduğundan, alanlar oranı 9/25 olur ve sonuç 54 cm² bulunur.

Step-by-Step Solution

Yamukta kelebek benzerliğini kullanarak oranları belirle.

3|DC| = 2|AB| \Rightarrow \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{2}{3}

\triangle DKC \sim \triangle BKA

benzerlik oranı

k = \frac{2}{3}

'tür.

Yamukta alt ve üst tabanların oranı, köşegenlerin ayırdığı parçaların oranına eşittir.

Yamukta alan özelliklerini kullanarak

Alan(ABK)

değerini hesapla.

Yamukta

Alan(AKD) = Alan(KBC) = 60

. Ayrıca

Alan(DKC) \cdot Alan(ABK) = (Alan(KBC))^2

kuralından ziyade alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(DKC)}{Alan(ABK)} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

. Ancak pratik yol:

\frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3}

olduğundan,

\triangle KBC

\triangle ABK

yükseklikleri ortaktır (B köşesinden inen dikme değil, AC tabanına göre düşünülürse alanlar tabanlarla orantılıdır).

\frac{Alan(KBC)}{Alan(ABK)} = \frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{60}{Alan(ABK)} = \frac{2}{3} \Rightarrow Alan(ABK) = 90

Tepe noktaları ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır.

Toplam

Alan(ABC)

'yi bul.

Alan(ABC) = Alan(ABK) + Alan(KBC) = 90 + 60 = 150 \text{ cm}^2

Hedef üçgenimiz olan AKL, ABC üçgeninin içinde yer alır ve benzerdir.

[KL] \parallel [BC]

olduğu için temel benzerlik teoremini uygula ve

Alan(AKL)

'yi hesapla.

\triangle AKL \sim \triangle ACB

(Paralellikten). Benzerlik oranı:

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{|AK|}{|AK| + |KC|}

. Oran

\frac{|AK|}{|KC|} = \frac{3}{2}

idi. O halde

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}

. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(AKL)}{Alan(ABC)} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}

Alan(AKL) = 150 \cdot \frac{9}{25} = 6 \cdot 9 = 54

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Key Concept

Yamukta Alan Özellikleri ve Üçgende Benzerlik

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic