Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

AA ve BB boştan farklı iki sonlu kümedir. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı K1K_1, BB kümesinden AA kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı K2K_2'dir.

s(A)=4s(A) = 4 ve 3K1−K2=113K_1 - K_2 = 11 olduğuna göre;

AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilen birebir fonksiyonların kaç tanesinde, AA kümesinin belirli bir elemanı a1a_1, BB kümesinin belirli bir elemanı b1b_1 ile eşleşmez?

  1. A
    120
  2. 96Answer
  3. C
    72
  4. D
    24
  5. E
    12

Answer

İstenen koşulu sağlayan 96 adet birebir fonksiyon vardır.
AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek tüm birebir fonksiyonların sayısı P(5,4)=120P(5,4)=120'dir. a1a_1'in b1b_1 ile eşleştiği (istenmeyen) durumların sayısı ise P(4,3)=24P(4,3)=24'tür. İstenen durum sayısı 120−24=96120 - 24 = 96 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sabit fonksiyon sayılarını kullanarak küme eleman sayılarını belirle.
s(A)=4s(A)=4 olduğu için K2=4K_2 = 4. 3K1−4=11  ⟹  3K1=15  ⟹  K1=53K_1 - 4 = 11 \implies 3K_1 = 15 \implies K_1 = 5. A→BA \to B sabit fonksiyon sayısı s(B)s(B) olduğundan, s(B)=5s(B)=5.
Bir kümeden diğerine tanımlanan sabit fonksiyon sayısı, değer kümesinin eleman sayısına eşittir.
2
Tüm birebir fonksiyonların sayısını hesapla.
P(5,4)=5×4×3×2=120P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120.
s(A)=n,s(B)=ms(A)=n, s(B)=m ise birebir fonksiyon sayısı P(m,n)P(m, n) permütasyonudur.
3
İstenmeyen durumun (eşleşme olması) sayısını hesapla.
a1→b1a_1 \to b_1 eşleşmesi sabitlenirse, kalan 3 eleman kalan 4 elemana eşleşir: 1×P(4,3)=4×3×2=241 \times P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24.
Belirli bir elemanın eşleştiği durumları tüm durumlardan çıkarmak için önce bu durumların sayısını bulmalıyız.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.
120−24=96120 - 24 = 96.
Toplam sayıdan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Kısıtlı Permütasyon

Hints

1
Önce K1K_1 ve K2K_2 değerlerini bularak BB kümesinin eleman sayısını tespit edin.
2
Tüm birebir fonksiyonların sayısını permütasyon formülü P(n,r)P(n, r) ile hesaplayın.
3
İstenmeyen durum (a1a_1'in b1b_1'e gitmesi) sayısını bulup, toplam sayıdan çıkarın.

Practice More

Birebir ve örten fonksiyon sayısı ile ilgili benzer bir kısıtlama sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Doğrudan sayma yöntemi: a1a_1 için b1b_1 hariç 4 seçenek vardır. a2a_2 için kalan 4 seçenek, a3a_3 için kalan 3, a4a_4 için kalan 2 seçenek vardır. 4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic