Examkin

Question

Difficulty: MediumÇokgenler

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı, kenar sayısının 33 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    120∘120^\circ
  2. B
    135∘135^\circ
  3. 140∘140^\circAnswer
  4. D
    144∘144^\circ
  5. E
    150∘150^\circ

Answer

Düzgün çokgenin bir iç açısı 140∘140^\circ olarak bulunur.
Verilen ilişkiye göre n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n denklemi kurulur. Buradan n=9n=9 bulunur. 9 kenarlı bir düzgün çokgenin (dokuzgen) bir dış açısı 40∘40^\circ, bir iç açısı ise 140∘140^\circ'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü yaz.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}
Bir çokgenin her köşesinden (n−3)(n-3) köşegen çizilir ve her köşegen iki ucu birleştirdiği için 2'ye bölünür.
2
Verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dök.
n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n
Soruda köşegen sayısının kenar sayısının (nn) 3 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek kenar sayısını (nn) bul.
n(n−3)=6n  ⟹  n−3=6  ⟹  n=9n(n-3) = 6n \implies n-3 = 6 \implies n = 9
Her iki taraf nn ile sadeleştirilebilir (çünkü n≠0n \neq 0).
4
Bulunan nn değeri (düzgün dokuzgen) için bir dış açıyı hesapla.
Dış Açı = 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ
Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360n\frac{360}{n} formülüyle bulunur.
5
Dış açı yardımıyla bir iç açıyı hesapla.
İç Açı = 180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Key Concept

Çokgenlerde Köşegen ve Açı İlişkisi

Hints

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü hatırla: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}.
2
Bu formülü, soruda verilen bilgiye dayanarak 3n3n'e eşitle ve nn değerini bul.
3
Denklemden n=9n=9 çıkar. Şimdi 9 kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısını bulmak için önce 3609\frac{360}{9} formülüyle dış açıyı bulabilirsin.

Practice More

Toplam köşegen sayısı 54 olan bir düzgün çokgenin bir dış açısını soran bir soru çözerek pratiğini artır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic