Examkin

Question

Difficulty: Very hardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, denklemi x−2y+6=0x - 2y + 6 = 0 olan d1d_1 doğrusunun, denklemi x+y−3=0x + y - 3 = 0 olan d2d_2 doğrusuna göre simetriği d3d_3 doğrusudur. Buna göre, d3d_3 doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan kapalı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    98\frac{9}{8}
  2. 94\frac{9}{4}Answer
  3. C
    33
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    66

Answer

Üçgensel bölgenin alanı 94\frac{9}{4} birimkaredir.
Doğru cevap, d3d_3 doğrusunun denkleminin y=2x+3y=2x+3 olarak bulunması ve eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanının 12⋅32⋅3=94\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4} hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının kesişim noktasını (KK) bulun.
x−2y=−6x - 2y = -6 ve x+y=3x + y = 3 denklemleri ortak çözülürse y=3,x=0y=3, x=0 bulunur. Kesişim noktası K(0,3)K(0,3)'tür.
Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriği, bu iki doğrunun kesişim noktasından geçer.
2
d1d_1 doğrusu üzerinde işlem kolaylığı sağlayacak bir nokta (AA) seçin.
y=0y=0 için x=−6x=-6 bulunur. A(−6,0)A(-6, 0) noktası seçilir.
Simetrik doğruyu bulmak için kesişim noktası dışında ikinci bir referans noktasına ihtiyaç vardır.
3
A(−6,0)A(-6, 0) noktasının d2:x+y−3=0d_2: x + y - 3 = 0 doğrusuna göre simetriğini (A′A') hesaplayın.
AA′AA' doğrusunun eğimi 11'dir (d2d_2'nin eğimi −1-1 olduğundan). Simetri işlemi sonucunda A′(3,9)A'(3, 9) bulunur.
Simetri dönüşümünde noktalar, simetri eksenine eşit uzaklıkta ve dik konumda taşınır.
4
K(0,3)K(0,3) ve A′(3,9)A'(3,9) noktalarından geçen d3d_3 doğrusunun denklemini yazın.
Eğim m=9−33−0=2m = \frac{9-3}{3-0} = 2. Denklem y−3=2(x−0)⇒y=2x+3y - 3 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 3.
İki noktası bilinen doğrunun denklemi elde edilir.
5
d3d_3 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları ve üçgenin alanını hesaplayın.
x=0x=0 için y=3y=3; y=0y=0 için x=−32x=-\frac{3}{2}. Alan = 12⋅∣−32∣⋅3=94\frac{1}{2} \cdot |-\frac{3}{2}| \cdot 3 = \frac{9}{4}.
Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Bir Doğrunun Başka Bir Doğruya Göre Simetriği

Hints

1
Simetrisi alınan doğru ile simetri ekseni olan doğru kesişiyorsa, elde edilecek simetrik doğru da bu kesişim noktasından geçer.
2
d1d_1 doğrusu üzerinde rastgele bir nokta (örneğin eksenleri kestiği nokta) seçip, bu noktanın d2d_2 doğrusuna göre simetriğini bulun.
3
Kesişim noktası K(0,3)K(0,3)'tür. A(−6,0)A(-6,0) noktasının x+y−3=0x+y-3=0 doğrusuna göre simetriği A′(3,9)A'(3,9) noktasıdır. KK ve A′A' noktalarından geçen doğrunun eksenlerle oluşturduğu alanı hesaplayın.

Practice More

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinin, o doğru üzerinde oluşturduğu en kısa mesafe problemleri incelenebilir.

Alternative Method

Eğim açısı yöntemi: d2d_2 doğrusu açıortaydır. d1d_1 ve d2d_2 arasındaki açının tanjantını bularak, aynı açıyı d2d_2 ile d3d_3 arasına uygulayıp m3m_3 eğimi hesaplanabilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic