Examkin

Question

Difficulty: MediumÇokgenler

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı 22 artırıldığında, toplam köşegen sayısı 1515 artmaktadır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

  1. A
    720∘720^{\circ}
  2. B
    900∘900^{\circ}
  3. 1080∘1080^{\circ}Answer
  4. D
    1260∘1260^{\circ}
  5. E
    1440∘1440^{\circ}

Answer

Sekiz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1080∘1080^{\circ}'dir.
Verilen bilgiler ışığında kurulan köşegen sayısı değişim denklemi çözüldüğünde çokgenin 88 kenarlı olduğu tespit edilir. Kenar sayısı 88 olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı (8−2)×180∘(8-2) \times 180^{\circ} işleminden 1080∘1080^{\circ} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünün yazılması ve değişim denkleminin kurulması.
Dn=n(n−3)2D_n = \frac{n(n-3)}{2} ve Dn+2=(n+2)(n+2−3)2=(n+2)(n−1)2D_{n+2} = \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} = \frac{(n+2)(n-1)}{2}
Köşegen sayısındaki artışı hesaplamak için başlangıç ve son durumdaki formüller gereklidir.
2
Köşegen sayısındaki 1515 artışı veren denklemin çözülmesi.
(n+2)(n−1)2−n(n−3)2=15⇒n2+n−2−(n2−3n)2=15⇒4n−22=15⇒2n−1=15⇒n=8\frac{(n+2)(n-1)}{2} - \frac{n(n-3)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{n^2+n-2 - (n^2-3n)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{4n-2}{2} = 15 \Rightarrow 2n-1 = 15 \Rightarrow n=8
Çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulmak için verilen artış miktarı denklemde yerine konur.
3
88 kenarlı çokgenin (sekizgen) iç açılar toplamı formülünün uygulanması.
İç açılar toplamı =(n−2)×180∘⇒(8−2)×180∘=6×180∘=1080∘= (n-2) \times 180^{\circ} \Rightarrow (8-2) \times 180^{\circ} = 6 \times 180^{\circ} = 1080^{\circ}
Herhangi bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı kenar sayısına bağlı olan (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur.

Key Concept

Çokgenlerde kenar sayısı, köşegen sayısı ve iç açılar toplamı arasındaki ilişkiler.

Hints

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünü hatırlayın: D=n(n−3)2D = \frac{n(n-3)}{2}.
2
Kenar sayısı n+2n+2 olduğunda köşegen sayısı (n+2)(n−1)2\frac{(n+2)(n-1)}{2} olur. Bu iki değer arasındaki farkın 1515 olduğunu kullanarak nn değerini bulun.
3
2n−1=152n-1 = 15 denkleminden kenar sayısını 88 bulduktan sonra (n−2)×180(n-2) \times 180 formülü ile iç açılar toplamına ulaşın.

Practice More

Aynı çokgenin bir dış açısının ölçüsünü bulmaya yönelik düzgün çokgen sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic