Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
Rakamları sıfırdan farklı olan iki basamaklı abab ve baba doğal sayıları için,
ab−ba>4⋅(a+b) ab - ba > 4 \cdot (a + b)
eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı yazılabilir?

  1. A
    0
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 13Answer
  5. E
    16

Answer

Koşulu sağlayan 13 farklı abab sayısı vardır.
Doğru cevap 13'tür. Basamaklar çözümlendiğinde 5a>13b5a > 13b eşitsizliği elde edilir. b=1,2,3b=1, 2, 3 değerleri için aa sırasıyla 7, 4 ve 2 farklı değer alır. Toplamda 13 sayı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Basamak çözümlemesi yap.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a olarak yazılır. Eşitsizlikte yerine koyarsak:
(10a+b)−(10b+a)>4(a+b)(10a + b) - (10b + a) > 4(a + b)
Sayıların basamak değerlerini kullanarak cebirsel ifadeye dönüştürmek gerekir.
2
İfadeyi düzenle ve sadeleştir.
9a−9b>4a+4b9a - 9b > 4a + 4b
9a−4a>4b+9b9a - 4a > 4b + 9b
5a>13b5a > 13b
aa ve bb terimlerini eşitsizliğin farklı taraflarına toplayarak ilişkiyi netleştiririz.
3
aa için alt sınırı belirle.
a>135ba > \frac{13}{5}b yani a>2,6ba > 2,6b olmalıdır.
aa'nın alabileceği değerleri bb'ye bağlı olarak bulmak için aa yalnız bırakılır.
4
Olası bb değerleri için aa rakamlarını bul.
- b=1b=1 için: a>2,6⇒a∈{3,4,5,6,7,8,9}a > 2,6 \Rightarrow a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} (7 değer)
- b=2b=2 için: a>5,2⇒a∈{6,7,8,9}a > 5,2 \Rightarrow a \in \{6, 7, 8, 9\} (4 değer)
- b=3b=3 için: a>7,8⇒a∈{8,9}a > 7,8 \Rightarrow a \in \{8, 9\} (2 değer)
- b=4b=4 için: a>10,4a > 10,4 (Rakam olamaz, çözüm yok)
aa ve bb birer rakam olduğu için bb'ye değer vererek aa'nın alabileceği rakamları listeleriz.
5
Toplam değeri hesapla.
7+4+2=137 + 4 + 2 = 13 farklı abab sayısı vardır.
Her durumdaki çözüm sayılarını toplarız.

Key Concept

Basamak analizi ve basit eşitsizlikler

Hints

1
abab ve baba sayılarını 10a+b10a+b ve 10b+a10b+a şeklinde açarak eşitsizliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 5a>13b5a > 13b eşitsizliğini elde etmelisiniz. Şimdi bb'ye küçük değerler vererek (1, 2, 3...) aa'yı bulmaya çalışın.
3
a>2,6ba > 2,6b şartını sağlayan rakamları düşünün. b=1b=1 ise a>2,6a > 2,6 olur. b=4b=4 olursa a>10,4a > 10,4 olur ki bu imkansızdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla ab+ba=11(a+b)ab + ba = 11(a+b) eşitliğini kullanan soruları çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic