Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
(3a+5b)⋅(c2+c+1)=14!+2024 (3a + 5b) \cdot (c^2 + c + 1) = 14! + 2024

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
  1. A
    a⋅ba \cdot b tek sayıdır
  2. B
    cc çift sayıdır
  3. C
    a+ba + b tek sayıdır
  4. a2+b2a^2 + b^2 çift sayıdırAnswer
  5. E
    a+ca + c çift sayıdır

Answer

a2+b2a^2 + b^2 ifadesi daima çift sayıdır.
Eşitliğin sağ tarafı çift sayıdır. Sol taraftaki c2+c+1c^2+c+1 çarpanı ise daima tektir. Bu durumda (3a+5b)(3a+5b) çarpanı çift olmak zorundadır. Katsayılar tek olduğu için, toplamın çift olması aa ve bb'nin aynı karakterde (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmasını gerektirir. Eğer aa ve bb aynı karakterde ise, a2a^2 ve b2b^2 de aynı karakterde olur ve toplamları (a2+b2a^2+b^2) daima çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tek/çift durumunu (paritesini) incele.
14!14! çift, 20242024 çift olduğu için toplamları (Çift + Çift) daima Çift sayıdır.
Faktöriyel kavramı ve toplama işleminde parite kuralı.
2
Eşitliğin sol tarafındaki ikinci çarpanı (c2+c+1c^2 + c + 1) analiz et.
c2+c=c(c+1)c^2 + c = c(c+1) ifadesi ardışık iki sayının çarpımı olduğu için daima çifttir. O halde c2+c+1c^2 + c + 1 (Çift + 1) daima Tek sayıdır.
Ardışık sayıların çarpım özelliği.
3
Sol tarafın çarpım sonucunun çift olması için gereken koşulu belirle.
Çarpım sonucu Çift ve ikinci çarpan Tek olduğuna göre, birinci çarpan (3a+5b)(3a + 5b) mutlaka Çift olmalıdır.
Çift ×\times Tek = Çift kuralı.
4
3a+5b3a + 5b ifadesinden aa ve bb arasındaki ilişkiyi çıkar.
Katsayılar (3 ve 5) tek olduğu için, sonucun çift olması ancak aa ve bb'nin aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olmasıyla mümkündür.
Tek ×\times Tek + Tek ×\times Tek = Çift veya Tek ×\times Çift + Tek ×\times Çift = Çift.
5
Seçenekleri bu bilgiye göre değerlendir.
aa ve bb aynı paritede ise kareleri toplamı (a2+b2a^2 + b^2) daima çifttir (Tek+Tek=Çift veya Çift+Çift=Çift).
Seçenek analizi.

Key Concept

İki tam sayının katsayıları tek sayı ise ve toplamları çift ise, bu sayılar aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahiptir.

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 14!+202414! + 2024 işleminin sonucunun tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
c2+cc^2 + c ifadesini c(c+1)c(c+1) şeklinde düşünün. Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çifttir.
3
Bir çarpma işleminin sonucu çift ve çarpanlardan biri tek (c2+c+1c^2+c+1) ise, diğer çarpan (3a+5b3a+5b) mutlaka çift olmalıdır. 3a+5b3a+5b çift ise aa ve bb nasıl sayılar olmalıdır?
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic