Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
x,yx, y ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+5y+6=z \frac{x \cdot y + 5}{y + 6} = z

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

  1. A
    x+zx + z
  2. B
    y+zy + z
  3. C
    x⋅z+yx \cdot z + y
  4. x+y+zx + y + zAnswer
  5. E
    x+yx + y

Answer

Daima çift olan ifade x+y+zx + y + z toplamıdır.
Denklem düzenlendiğinde y(x−z)=6z−5y(x-z) = 6z - 5 elde edilir. Eşitliğin sağı daima tektir. Bu durumda yy kesinlikle Tek sayı, (x−z)(x-z) ifadesi de Tek sayı olmalıdır. Farkları tek olan sayıların toplamları (x+zx+z) da tektir. Seçeneklerdeki x+y+zx+y+z ifadesi, (x+z)+y(x+z) + y şeklinde yazılabilir. (x+z)(x+z) Tek ve yy Tek olduğuna göre, Tek + Tek = Çift sonucu kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenleyerek yy'li terimleri bir araya getir.
x⋅y+5=z(y+6)⇒x⋅y+5=z⋅y+6z⇒y(x−z)=6z−5x \cdot y + 5 = z(y + 6) \Rightarrow x \cdot y + 5 = z \cdot y + 6z \Rightarrow y(x - z) = 6z - 5
Kesirli ifadeden kurtulup çarpım durumundaki pariteyi analiz etmek için.
2
Eşitliğin sağ tarafının (6z−56z - 5) teklik-çiftlik durumunu incele.
6z6z daima çifttir, 55 tektir. Dolayısıyla 6z−56z - 5 işleminin sonucu DAİMA TEKTİR.
Eşitliğin bir tarafının kesin paritesini bulmak, diğer tarafı çözümler.
3
Sol tarafın (y(x−z)y(x - z)) tek olması için çarpanların durumunu belirle.
Çarpım tek ise, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani **yy Tektir ve (x−z)(x - z) Tektir**.
Tek sayıların çarpımı kuralı (Tek ⋅\cdot Tek = Tek).
4
xx ve zz arasındaki ilişkiyi yorumla.
x−zx - z tek ise, xx ve zz'den biri Tek, diğeri Çift olmak zorundadır (Zıt karakterli). Bu durumda x+zx + z toplamı daima Tektir.
İki sayının farkı tek ise, toplamları da tektir.
5
Seçenekleri bu bulgulara göre test et.
x+y+z=(x+z)+yx + y + z = (x + z) + y. Biz (x+z)(x+z)'nin Tek, yy'nin Tek olduğunu bulduk. O halde Tek + Tek = Çift.
Bulunan kesin yargıları seçeneklerde yerine koyarak doğruyu bulmak.

Key Concept

Tam sayı çeşitleri problemlerinde, değişkenleri gruplayarak (paranteze alarak) çarpım formuna getirmek ve sonucun kesin Tek/Çift olduğu taraftan yola çıkarak bilinmeyenlerin paritesini analiz etmek gerekir.

Hints

1
İçler dışlar çarpımı yaparak ifadeyi x⋅y+5=z(y+6)x \cdot y + 5 = z(y + 6) haline getirip yy'li terimleri bir tarafta toplayınız.
2
y(x−z)=6z−5y(x - z) = 6z - 5 eşitliğini elde ettikten sonra, eşitliğin sağ tarafının (6z−56z - 5) Tek mi Çift mi olduğunu belirleyiniz.
3
Sonuç Tek ise, çarpım durumundaki yy sayısı Tek olmalı ve parantez içindeki (x−z)(x-z) farkı da Tek olmalıdır. x−zx-z tek ise xx ve zz zıt işaretlidir (Biri Tek, Biri Çift).

Practice More

Benzer mantıkla, a,b,ca, b, c tam sayıları için (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) çarpımının tek olduğu durumlarda a+ca+c'nin paritesini inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic