Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Bir ABCDEFABCDEF düzgün altıgeninde ACAC köşegeni çizilmiştir. Bu köşegen üzerinde, ∣AK∣=∣CD∣|AK| = |CD| eşitliğini sağlayan bir KK noktası işaretleniyor.

Buna göre, m(KBC^)m(\widehat{KBC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    15∘15^{\circ}
  2. B
    30∘30^{\circ}
  3. 45∘45^{\circ}Answer
  4. D
    60∘60^{\circ}
  5. E
    75∘75^{\circ}

Answer

İstenen açının ölçüsü 45∘45^{\circ} olarak bulunur.
Düzgün altıgenin iç açısı 120∘120^{\circ}'dir. ACAC köşegeni çizildiğinde oluşan ABCABC üçgeni 30∘−30∘−120∘30^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ} ikizkenar üçgenidir. Soruda verilen ∣AK∣=∣CD∣|AK|=|CD| bilgisi, altıgenin tüm kenarları eşit olduğundan ∣AK∣=∣AB∣|AK|=|AB| olduğunu gösterir. Bu durumda ABKABK üçgeni, tepe açısı 30∘30^{\circ} olan bir ikizkenar üçgen olur ve taban açıları 75∘75^{\circ} bulunur. Altıgenin BB köşesindeki tamamı 120∘120^{\circ} olan açıdan 75∘75^{\circ} çıkarıldığında geriye 45∘45^{\circ} kalır.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün altıgenin özelliklerini kullanarak kenar eşitliklerini belirle.
Düzgün altıgende tüm kenar uzunlukları eşittir, bu nedenle ∣AB∣=∣CD∣|AB| = |CD|'dir. Soruda verilen ∣AK∣=∣CD∣|AK| = |CD| eşitliği ile birleştirildiğinde ∣AK∣=∣AB∣|AK| = |AB| elde edilir.
Üçgenin ikizkenarlığını tespit etmek için kenar uzunlukları arasında ilişki kurmak gerekir.
2
ABCABC üçgenindeki açıları hesapla.
ABCABC üçgeninde tepe açısı m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^{\circ} ve ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| olduğundan ikizkenardır. Taban açıları m(BAC^)=m(BCA^)=180∘−120∘2=30∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} olur.
Köşegenin oluşturduğu açıyı bularak ABKABK üçgeninin tepe açısını belirlemek için.
3
ABKABK ikizkenar üçgeninde taban açılarını hesapla.
∣AK∣=∣AB∣|AK| = |AB| olduğundan △ABK\triangle ABK ikizkenardır. Tepe açısı m(KAB^)=30∘m(\widehat{KAB}) = 30^{\circ} olduğundan, taban açısı m(ABK^)=180∘−30∘2=75∘m(\widehat{ABK}) = \frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ} bulunur.
Hedeflenen KBCKBC açısını bulmak için ABKABK açısına ihtiyaç vardır.
4
İstenen m(KBC^)m(\widehat{KBC}) açısını bulmak için fark işlemini yap.
m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^{\circ} olduğundan, m(KBC^)=m(ABC^)−m(ABK^)=120∘−75∘=45∘m(\widehat{KBC}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABK}) = 120^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ}.
Sonuca ulaşmak için toplam açıdan bilinen parçayı çıkarmak gerekir.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde kenar eşitliklerinin köşegenler üzerindeki noktalarla oluşturduğu gizli ikizkenar üçgenlerin tespiti.

Hints

1
Düzgün altıgenin tüm kenar uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayın (∣AB∣=∣CD∣|AB| = |CD|).
2
∣AB∣=∣AK∣|AB| = |AK| eşitliğini kullanarak ABKABK üçgeninin türünü belirleyin.
3
ABCABC üçgeninde AA açısı 30∘30^{\circ}'dir. ABKABK ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesaplayıp 120∘120^{\circ}'den çıkarın.

Practice More

Düzgün beşgen içinde benzer bir ikizkenar üçgen oluşturma sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Çember yöntemi: Düzgün altıgenin çevrel çemberi çizilirse, ABAB yayı 60∘60^{\circ}'dir. Açı hesaplamaları çemberde açı özellikleri ile de yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic