Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları,
f(x)={4−x,x<22x−1,x≥2f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 2 \\ 2x - 1, & x \ge 2 \end{cases}
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2
biçiminde verilmiştir. Buna göre, (f∘g−1)(4)+(g∘f)(1)(f \circ g^{-1})(4) + (g \circ f)(1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    9
  4. 10Answer
  5. E
    14

Answer

İşlemin sonucu 10'dur.
Doğru sonuca ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) için g(x)=4g(x)=4 denklemi çözülerek x=2x=2 bulunur. f(2)f(2) hesaplanırken x=2x=2 noktası x≥2x \ge 2 aralığına dahil olduğundan 2x−12x-1 kuralı uygulanır ve sonuç 3 çıkar. İkinci kısımda (g∘f)(1)(g \circ f)(1) için önce f(1)f(1) hesaplanır; 1<21 < 2 olduğundan 4−x4-x kuralı ile f(1)=3f(1)=3 bulunur. Son olarak g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3)-2 = 7 elde edilir. Toplam 3+7=103+7=10 olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk terim olan (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) ifadesini hesaplamak için önce g−1(4)g^{-1}(4) değeri bulunur.
3x−2=4⇒3x=6⇒x=23x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, yani g−1(4)=2g^{-1}(4) = 2.
Ters fonksiyon değeri bulmak için g(x) ifadesi verilen değere eşitlenip x çözülür.
2
Bulunan değeri ff fonksiyonunda yerine yazarak bileşke tamamlanır.
x=2x = 2 değeri x≥2x \ge 2 koşulunu sağladığından alttaki kural kullanılır: f(2)=2(2)−1=3f(2) = 2(2) - 1 = 3.
Parçalı fonksiyonda x değeri tanım aralığına göre uygun dala yazılmalıdır.
3
İkinci terim olan (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesini hesaplamak için önce f(1)f(1) değeri bulunur.
x=1x = 1 değeri x<2x < 2 koşulunu sağladığından üstteki kural kullanılır: f(1)=4−1=3f(1) = 4 - 1 = 3.
x=1 kritik nokta olan 2'den küçüktür.
4
Bulunan f(1)f(1) değeri gg fonksiyonunda yerine yazılır.
g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3) - 2 = 7.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği g(f(1)) hesaplanır.
5
İki terimin sonuçları toplanır.
3+7=103 + 7 = 10.
Soruda istenen toplam işlemi yapılır.

Key Concept

Parçalı fonksiyonların kritik noktalara göre değerlendirilmesi ve ters fonksiyon kavramı.

Hints

1
Parçalı fonksiyonlarda xx değerinin hangi aralıkta (kritik nokta 2'den büyük mü küçük mü) olduğuna dikkat ediniz.

Practice More

Bileşke fonksiyon sorularında tersten gelme (ters fonksiyon) ve kritik nokta analizini pekiştiren sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic