Examkin

Question

Difficulty: HardPermütasyon (Sıralama)

Bir üniversite hastanesinin açılış töreninde; 33 profesör, 22 doçent ve 22 asistan yan yana dizilmiş 77 sandalyeye oturacaklardır. Asistanların sıranın en başında ve en sonunda oturması, doçentlerin ise yan yana gelmemesi gerekmektedir.

Buna göre, bu oturma düzeni kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    72
  2. B
    96
  3. C
    120
  4. 144Answer
  5. E
    240

Answer

Bu oturma düzeni 144 farklı şekilde oluşturulabilir.
Problemi adım adım çözeriz:
1. Sabit Uçlar: 2 asistan sıranın en başına ve en sonuna 2!=22! = 2 farklı şekilde oturabilir.
2. İç Yerleşim: Kalan 5 koltuğa 3 profesör ve 2 doçent oturacaktır. Doçentlerin yan yana gelmemesi istendiği için önce kısıtlamasız olan profesörler yerleştirilir.
3. Profesörlerin Dizilimi: 3 profesör 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
4. Doçentlerin Yerleşimi: Profesörlerin aralarında oluşan boşluklara bakılır: _ P _ P _ P _. Burada 4 adet uygun boşluk vardır (en uçlar asistanlar tarafından kapatılmıştır). 2 doçent bu 4 boşluğa P(4,2)=4×3=12P(4,2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde oturabilir.

Toplam durum sayısı çarpma kuralı gereği: 2×6×12=1442 \times 6 \times 12 = 144 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Asistanların (A) yerleşimini hesapla.
2! = 2 farklı durum
Asistanlar en baş ve en sonda olmak zorundadır (A _ _ _ _ _ A). Kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirebilirler.
2
Aradaki 5 boşluğa yerleşecek Profesörlerin (P) dizilimini hesapla.
3! = 6 farklı durum
3 Profesör, doçentler için 'ayırıcı' görevi görecektir. Önce profesörler yerleştirilir.
3
Doçentlerin (D) yerleşebileceği boşlukları belirle ve hesapla.
P(4, 2) = 4 × 3 = 12 farklı durum
Profesörler yerleştiğinde (_ P _ P _ P _) oluşan 4 boşluğa (uçlar asistanlarla kapalı olduğu için sadece aralar) 2 Doçent, yan yana gelmemek şartıyla P(4,2) şeklinde yerleşir.
4
Tüm ihtimalleri çarpma kuralına göre birleştir.
2 × 6 × 12 = 144
Asistanlar, profesörler ve doçentlerin yerleşimleri birbirine bağlı olaylar dizisidir.

Key Concept

Permütasyon (Sıralama) ve Ayıraç/Boşluk Yöntemi

Hints

1
Önce özel şartı olan 'sabit' elemanları (Asistanları) yerleştirin, sonra diğer kısıtlamalara geçin.
2
Doçentlerin yan yana gelmemesi için, önce profesörleri dizip onların arasında oluşan boşlukları kullanın.
3
Asistanlar uçlarda 2! durum oluşturur. İçerideki 3 profesör 3! durum oluşturur. Profesörlerin arasında oluşan 4 boşluğa 2 doçent P(4,2) şeklinde yerleşir.

Practice More

Benzer mantıkla, 'sesli harflerin yan yana gelmediği kelime sayısı' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi:
1. Asistanlar uçta iken içerideki 5 kişinin tüm sıralanışı: 5!=1205! = 120. Asistanlarla birlikte: 2!×120=2402! \times 120 = 240.
2. İstenmeyen durum (Doçentlerin yan yana olması): (DD) paketlenir. İçerisi { (DD), P, P, P } olur. 4 nesne 4!=244! = 24 şekilde sıralanır. (DD) kendi içinde 2!=22! = 2. Toplam istenmeyen iç dizilim: 24×2=4824 \times 2 = 48. Asistanlarla birlikte: 2!×48=962! \times 48 = 96.
3. Sonuç: 240−96=144240 - 96 = 144.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Permütasyon (Sıralama)

More questions from this topic