Examkin

Question

Difficulty: HardPermütasyon (Sıralama)

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemleri için A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak dosya numaraları oluşturulacaktır. Dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

  1. A
    96
  2. B
    144
  3. C
    150
  4. 156Answer
  5. E
    180

Answer

İki durumun toplamı olarak 156 farklı dosya numarası oluşturulabilir.
Doğru cevap, 0'ın yarattığı kısıtlamayı yönetmek için problemin iki parçaya bölünmesiyle bulunur. Birinci durumda son basamak 0 olarak sabitlenir (5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60). İkinci durumda son basamak 2 veya 4 olarak seçilir, bu durumda başa 0 gelemez kısıtı devreye girer (4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96). Bu iki ayrık durumun toplamı 156'dır.

Step-by-Step Solution

1
Problemi analiz et
Küme: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, çift sayı. Çift olması için son basamak {0,2,4}\{0, 2, 4\} olmalıdır. 0 hem çift sayı şartını sağlar hem de başa gelemez; bu nedenle 0'ın sonda olduğu ve olmadığı durumlar ayrı incelenmelidir.
Permütasyon sorularında, kısıtlama içeren eleman (burada 0) birden fazla basamağı etkiliyorsa (hem birler hem binler), durumlar ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla
Birler basamağı: 0 (1 seçenek). Binler basamağı: Kalan 5 rakamdan hepsi olabilir (5 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60.
Son basamak 0 olduğunda, 0 zaten kullanıldığı için binler basamağına 0 gelme riski ortadan kalkar.
3
2. Durum: Son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) sayıları hesapla
Birler basamağı: {2,4}\{2, 4\} (2 seçenek). Binler basamağı: 0 gelemez ve sondaki rakam kullanılamaz, kalan 4 rakam (4 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (0 dahil, 4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96.
Son basamak 0 değilse, binler basamağı için 0 hariç tutulmalıdır.
4
Toplam durumu bul
60+96=15660 + 96 = 156.
Ayrık iki durumun sonuçları toplanır.

Key Concept

Permütasyon ve Kısıtlı Sıralama (0'ın Durumu)

Hints

1
0 rakamı hem çift sayı olma şartını etkiler hem de binler basamağına (en başa) gelemez.
2
Son basamağın 0 olduğu durum ile son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
3
Sonu 0 olanlar: 5×4×3×15 \times 4 \times 3 \times 1. Sonu {2,4} olanlar: 4×4×3×24 \times 4 \times 3 \times 2 (Başa 0 gelemez).

Practice More

Benzer küme ile rakamları farklı, 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılabileceğini hesaplayın.

Alternative Method

Tüm 4 basamaklı rakamları farklı sayıları bulun (5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300). Tek sayıları (sonu 1, 3, 5 olanlar) hesaplayıp çıkarın. Tek sayılar için 0 sorunu yoktur: Son (3) ×\times Baş (4) ×\times Orta (4) ×\times Orta (3) = 3×4×4×3=1443 \times 4 \times 4 \times 3 = 144. Sonuç: 300−144=156300 - 144 = 156.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Permütasyon (Sıralama)

More questions from this topic