Examkin

Question

Difficulty: HardPermütasyon (Sıralama)

Bir kamu kurumunda arşivlenen dosyalar için {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları kullanılarak 4 basamaklı dosya numaraları oluşturulacaktır.

Oluşturulacak dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

  1. A
    72
  2. 96Answer
  3. C
    108
  4. D
    120
  5. E
    156

Answer

Bu koşullara uygun 96 farklı dosya numarası oluşturulabilir.
İstenen sayıların 3000'den büyük ve çift olması gerektiğinden, binler basamağına {3, 4, 5} rakamları gelebilir. Ancak 4 rakamı hem binler basamağını hem de birler basamağındaki çift olma durumunu etkilediği için inceleme ikiye ayrılmalıdır:

1. Binler basamağı tek ise (3 veya 5):
- Binler basamağı: 2 seçenek ({3, 5})
- Birler basamağı: 3 seçenek ({0, 2, 4}) (Binler basamağında kullanılan tek sayı burayı etkilemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (P(4,2)=12P(4,2) = 12)
- İşlem: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı çift ise (sadece 4):
- Binler basamağı: 1 seçenek ({4})
- Birler basamağı: 2 seçenek ({0, 2}) (4 kullanıldığı için 4 gelemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (P(4,2)=12P(4,2) = 12)
- İşlem: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24

Toplam: 72+24=9672 + 24 = 96 farklı dosya numarası oluşturulabilir.

Step-by-Step Solution

1
Problemi analiz et
Kullanılacak küme: {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, >3000, çift sayı.
Kısıtlamalar (büyüklük ve teklik/çiftlik) binler ve birler basamağını etkilediği için bu basamaklar birbirine bağımlıdır ve durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
2
Binler basamağının tek sayı olduğu durumları incele (3 ve 5)
Binler basamağına {3, 5} gelebilir (2 durum). Birler basamağına çift {0, 2, 4} gelebilir (3 durum). Kalan 2 basamak için 4 rakamdan 2'si seçilir (4x3=12). Toplam: 2 x 3 x 12 = 72 sayı.
Binler basamağına tek sayı geldiğinde (örneğin 3), birler basamağındaki çift sayı adaylarının hiçbiri kullanılmış olmaz.
3
Binler basamağının çift sayı olduğu durumları incele (4)
Binler basamağına sadece {4} gelebilir (1 durum). Birler basamağına kalan çiftler {0, 2} gelebilir (2 durum). Kalan 2 basamak için yine 4x3=12. Toplam: 1 x 2 x 12 = 24 sayı.
Binler basamağına 4 geldiğinde, birler basamağı için 4 kullanılamaz, seçenek sayısı azalır.
4
Tüm durumları topla
72 + 24 = 96.
Ayrık durumlar (binler basamağı tek veya çift) toplama kuralı ile birleştirilir.

Key Concept

Kısıtlı Permütasyon ve Durum Analizi

Hints

1
Bir sayı hem 3000'den büyük hem de çift olacaksa, binler basamağı ve birler basamağı için hangi rakamlar kullanılabilir? Kümeleri yazınız.
2
Binler basamağına gelebilecek {3, 4, 5} kümesindeki '4' rakamı çifttir. Bu rakam binler basamağına gelirse, birler basamağına gelebilecek çift sayıların sayısı değişir.
3
Problemi iki duruma ayırın: 1) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durumlar. 2) Binler basamağının 4 olduğu durumlar. Sonuçları toplayın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Permütasyon (Sıralama)

More questions from this topic