Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
xy \frac{x}{y}
ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    x ve y birer tam sayıdır.
  2. B
    x . y çarpımı bir rasyonel sayıdır.
  3. x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.Answer
  4. D
    x + y toplamı bir irrasyonel sayıdır.
  5. E
    x² rasyonel sayı ise y bir rasyonel sayıdır.

Answer

x irrasyonel sayı ise y de irrasyonel sayıdır.
Sıfırdan farklı bir oranın (x/yx/y) rasyonel olabilmesi için, xx ve yy sayılarının 'türdeş' olması gerekir. Yani ya her ikisi de rasyonel olmalı ya da her ikisi de birbiriyle sadeleşebilen köklü (irrasyonel) ifadeler içermelidir. Eğer xx bir irrasyonel sayı ise (örneğin 2\sqrt{2}), sonucun rasyonel çıkabilmesi için yy sayısının da bunu sadeleştirecek bir irrasyonel çarpanı (örneğin 2\sqrt{2}) olmalıdır. Eğer yy rasyonel olsaydı, İrrasyonel/Rasyonel = İrrasyonel olurdu ve hipotezle çelişirdi. Bu nedenle xx irrasyonel ise yy de kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen koşulu analiz et
x/y = q (q ∈ ℚ ve q ≠ 0) şeklinde yazılabilir. Buradan x = y . q veya y = x/q eşitliği elde edilir.
Soruda x/y ifadesinin rasyonel sayı olduğu belirtilmiştir.
2
Doğru seçeneği (C) sına
Eğer x irrasyonel bir sayı ise (x ∈ ℚ'), y sayısı rasyonel olamaz. Çünkü 'İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyonel'dir. Ancak sonucun (x/y) rasyonel çıkması gerektiği için, y de mutlaka irrasyonel olmalıdır.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının bölümü/çarpımı daima irrasyoneldir.
3
Diğer seçenekler için karşıt örnek bul
B seçeneği için: x = ⁴√2 ve y = ⁴√2 olsun. x/y = 1 (Rasyonel). Ancak x.y = √2 (İrrasyonel). Bu yüzden x.y daima rasyonel değildir.
Daima doğru olması için tek bir istisna bile ifadeyi yanlış yapar.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

Hints

1
Bir rasyonel sayı (q) ile irrasyonel bir sayının (i) çarpımı veya bölümü ne tür bir sayı verir? Bunu düşünün.
2
x=y⋅kx = y \cdot k (k rasyonel) eşitliğini kurun. Eğer x irrasyonel ise ve k rasyonel ise, y sayısı rasyonel olabilir mi?
3
Rasyonel sayı ile Rasyonel sayının işlemi Rasyoneldir. Ancak İrrasyonel / Rasyonel = İrrasyoneldir. Soruda sonucun Rasyonel olduğu verilmiş.

Alternative Method

Değer vererek eleme yöntemi: x=2x=\sqrt{2} ve y=2y=\sqrt{2} vererek seçenekleri deneyin. Sonra x=2x=2 ve y=2y=2 vererek tekrar deneyin. Her iki durumda da doğru kalan tek seçeneği bulun.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic