Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği ile belirtilen kapalı bölgenin, y≥1y \ge 1 eşitsizliğini sağlayan kısmının alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    16
  5. E
    32

Answer

İstenen bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2,0) noktasında olan bir kare belirtir. Bu karenin y≥1y \ge 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmı, tabanı y=1y=1 doğrusu üzerinde ve tepe noktası (2,4)(2,4) olan bir üçgendir. Taban uzunluğu 6 birim ve yüksekliği 3 birim olduğundan alan 9 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlik bölgelerini tanımla
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2, 0) olan ve köşegen uzunlukları 8 birim olan bir kare (eşkenar dörtgen) belirtir. y≥1y \ge 1 eşitsizliği ise y=1y=1 doğrusunun üst kısmını ifade eder.
Geometrik şekli ve kesişim bölgesini belirlemek için sınırları çizmek gerekir.
2
Kesişim bölgesinin sınır noktalarını bul
y=1y=1 doğrusunun eşitsizlik sınırı ile kesiştiği noktalar için ∣x−2∣+1=4⇒∣x−2∣=3|x - 2| + 1 = 4 \Rightarrow |x - 2| = 3 denklemi çözülür. x−2=3⇒x=5x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1. Kesişim noktaları (−1,1)(-1, 1) ve (5,1)(5, 1)'dir.
Oluşan üçgensel bölgenin taban uzunluğunu bulmak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Bölgenin tepe noktasını belirle
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 bölgesinin en üst noktası, x=2x=2 için ∣y∣=4⇒y=4|y|=4 \Rightarrow y=4 noktasıdır. Tepe noktası (2,4)(2, 4)'tür.
Üçgenin yüksekliğini hesaplamak için tepe noktasının bilinmesi gerekir.
4
Üçgenin alanını hesapla
Taban uzunluğu 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim. Yükseklik 4−1=34 - 1 = 3 birim. Alan = 6×32=9\frac{6 \times 3}{2} = 9 birimkare.
Üçgen alanı formülü (Taban x Yükseklik / 2) uygulanır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Grafiği ve Bölge Alanı

Hints

1
Eşitsizliği sağlayan bölgeyi çizmek için önce mutlak değerlerin kritik noktalarını (içini sıfır yapan değerler) bulun.
2
∣x−2∣+∣y∣=4|x - 2| + |y| = 4 denklemi, merkezi (2,0)(2, 0) olan bir kare (eşkenar dörtgen) oluşturur. Tepe noktalarını belirleyin.
3
Bölge, y=1y=1 doğrusu ile kesildiğinde üstte kalan kısım bir üçgendir. Bu üçgenin taban noktalarını bulmak için denklemde y=1y=1 yazın.

Practice More

Benzer mantıkla, ∣x∣+∣y∣≤6|x| + |y| \le 6 ve y≥xy \ge x eşitsizliklerinin kesişim alanını hesaplayınız.

Alternative Method

Yamuk alanı yöntemi: y≥0y \ge 0 bölgesinin alanı (yarım kare) 16'dır. 0≤y≤10 \le y \le 1 arasındaki yamuğun alanı ise Alt Taban=8, Üst Taban=6, Yükseklik=1 olduğundan (8+6)/2 * 1 = 7'dir. İstenen alan 16 - 7 = 9 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic