Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için ff birim fonksiyon, gg ise sabit fonksiyondur.

g(x)=f(m)−6g(x) = f(m) - 6
f(2x+g(x))=(n−1)x+3m−2f(2x + g(x)) = (n-1)x + 3m - 2

eşitlikleri her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, f(n)+g(m)f(n) + g(m) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -8
  2. B
    -7
  3. -5Answer
  4. D
    -1
  5. E
    1

Answer

İstenen ifadenin değeri -5'tir.
Birim fonksiyon (f(x)=xf(x)=x) ve sabit fonksiyon (g(x)=kg(x)=k) tanımları kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde n=3n=3, m=−2m=-2 ve g(x)=−8g(x)=-8 bulunur. Buradan f(n)+g(m)=3+(−8)=−5f(n)+g(m) = 3 + (-8) = -5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyon tanımlarını belirle
f(x)=xf(x) = x (birim) ve g(x)=kg(x) = k (sabit, k∈Rk \in \mathbb{R}).
Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarının kullanılması gerekir.
2
Birinci eşitliği kullanarak k ve m arasındaki ilişkiyi bul
k=m−6k = m - 6
g(x)=kg(x)=k ve f(m)=mf(m)=m olduğundan g(x)=f(m)−6g(x) = f(m) - 6 eşitliği k=m−6k = m - 6 haline gelir.
3
İkinci eşitliği düzenle ve polinom eşitliğini kur
2x+k=(n−1)x+3m−22x + k = (n-1)x + 3m - 2
ff birim fonksiyon olduğundan f(2x+g(x))=2x+kf(2x + g(x)) = 2x + k olur. Bu ifade verilen eşitliğin sağ tarafına denktir.
4
x'in katsayılarını eşitleyerek n değerini bul
2=n−1⇒n=32 = n - 1 \Rightarrow n = 3
Eşitliğin her x için sağlanması için x'li terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
5
Sabit terimleri eşitleyerek m ve k değerlerini bul
k=3m−2k = 3m - 2 ve k=m−6k = m - 6 denklemlerinden m−6=3m−2⇒−4=2m⇒m=−2m - 6 = 3m - 2 \Rightarrow -4 = 2m \Rightarrow m = -2. Buradan k=−8k = -8.
Sabit terimlerin eşitliğinden elde edilen denklem sistemi çözülür.
6
İstenen f(n)+g(m)f(n) + g(m) değerini hesapla
f(3)+g(−2)=3+(−8)=−5f(3) + g(-2) = 3 + (-8) = -5
f(3)=3f(3)=3 ve gg sabit fonksiyon olduğundan g(−2)=−8g(-2)=-8 değerleri toplanır.

Key Concept

Birim ve Sabit Fonksiyon Tanımları

Hints

1
ff birim fonksiyon ise f(x)=xf(x)=x, gg sabit fonksiyon ise g(x)=kg(x)=k şeklinde yazarak başlayın.
2
İkinci eşitlikte f(2x+g(x))f(2x+g(x)) ifadesini 2x+k2x+k olarak açıp, sağ taraftaki polinom ile katsayı eşitlemesi yapın.

Practice More

Sabit fonksiyonun rasyonel ifade olarak verildiği (f(x)=(ax+b)/(cx+d)f(x) = (ax+b)/(cx+d)) ve oran orantı kullanılması gereken soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Polinom eşitliği yerine, xx değişkenine özel değerler (örneğin x=0x=0) vererek denklem sistemi elde edilebilir, ancak polinom katsayı eşitlemesi genel çözüm için daha güvenilirdir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic