Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Sıfırdan farklı bir xx gerçel sayısı için aşağıdaki iki bilginin doğru olduğu bilinmektedir:

I. x3x^3 sayısı bir rasyonel sayıdır.
II. x2x^2 sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, xx sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    xx bir rasyonel sayıdır.
  2. B
    x4x^4 sayısı rasyoneldir.
  3. x5x^5 sayısı irrasyoneldir.Answer
  4. D
    x6x^6 sayısı irrasyoneldir.
  5. E
    1x\frac{1}{x} sayısı rasyoneldir.

Answer

x5x^5 sayısının irrasyonel olduğu kesindir.
Verilen bilgilere göre x3x^3 rasyonel, x2x^2 ise irrasyoneldir. Üslü sayı özellikleri kullanılarak x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2 şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir; sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. Dolayısıyla x5x^5 kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen önermeleri analiz et.
I. x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} (Rasyonel)
II. x2∉Qx^2 \notin \mathbb{Q} (İrrasyonel)
Soruda verilen koşulları matematiksel sembollerle ifade etmek çözümün temelidir.
2
xx sayısının kendisinin rasyonel olup olmadığını belirle.
xx bir irrasyonel sayıdır.
Eğer xx rasyonel olsaydı (x∈Qx \in \mathbb{Q}), karesi x2x^2 de rasyonel olurdu. Ancak II. öncülde x2x^2'nin irrasyonel olduğu belirtilmiş. Bu çelişki xx'in irrasyonel olduğunu kanıtlar.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri x3x^3 ve x2x^2 cinsinden yazarak incele.
x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2
Bildiğimiz iki değer (x3x^3 ve x2x^2) üzerinden bilinmeyen kuvvetleri yorumlamalıyız.
4
x5x^5 ifadesinin rasyonellik durumunu kontrol et.
x3x^3 (Sıfırdan farklı Rasyonel) ×\times x2x^2 (İrrasyonel) = İrrasyonel
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. x≠0x \neq 0 verildiği için x3≠0x^3 \neq 0 dır.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Çarpımı

Hints

1
x5x^5 ve x6x^6 gibi ifadeleri, soruda verilen x2x^2 ve x3x^3 cinsinden yazmayı deneyin.
2
x5=x3⋅x2x^5 = x^3 \cdot x^2 eşitliğini kullanarak rasyonellik durumunu inceleyin.
3
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

Practice More

Benzer mantıkla x7x^7 sayısının rasyonellik durumunu inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek kontrol etme: x=23x = \sqrt[3]{2} olsun. x3=2x^3 = 2 (Rasyonel), x2=43x^2 = \sqrt[3]{4} (İrrasyonel). Bu değer için şıkları test edebilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic